Question

【題目】已知方程，為實數，且，證明：

（1）這個方程有兩個不相等的實數根；

（2）一個根大于1，另一個根小于1.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=b2-4ac的值的符號就可以了．
（2）利用根與系數的關系以及（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1，確定兩個根的取值情況．

解：證明：（1）把（x-1）（x-2）=k2化簡，得x2-3x+2-k2=0，
∵有兩個不相等的實數根，a=1，b=-3，c=2-k2，
∴△=b2-4ac=（-3）2-4×1×（2-k2）=1+4k2＞0，
∴方程兩個不相等的實數根；
（2）設方程有兩個根為x1和x2，
∴（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=2-k2-3+1=-k2，
∵k為實數且k≠0，
∴-k2＜0，

∴x1-1和x2-1異號，

∴方程的一個根大于1，另一個根小于1.