Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C為AB延長線上一點，動點P從點A出發沿AC方向以lcm/s的速度運動，同時動點Q從點C出發以相同的速度沿CA方向運動，當兩點相遇時停止運動，過點P作AB的垂線，分別交⊙O于點M和點N，已知⊙O的半徑為l，設運動時間為t秒．

（1）若AC＝5，則當t＝時，四邊形AMQN為菱形；當t＝時，NQ與⊙O相切；

（2）當AC的長為多少時，存在t的值，使四邊形AMQN為正方形？請說明理由，并求出此時t的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）AC=3，t=1．

【解析】

（1）AP=t,CQ=t,則PQ=5-2t,由于NM⊥AB，根據垂徑定理得PM=PN,根據菱形的判定方法，當PA=PQ時，四邊形AMQN為菱形，即t=5-2t，然后解一元一次方程可求t的值；根據切線的判定定理，當∠ONQ=90時，NQ與⊙O相切，如圖，此時OP=t-1，OQ=AC-OA-QC=4-t，再證明Rt△ONP∽Rt△ONQ，利用相似比可得t2-5t+5=0，然后解一元二次方程可得到t的值；

（2）當四邊形AMQN為正方形，則∠MAN=90，又可判斷AQ為直徑，于是得到點P在圓心，所以t=AP=1，CQ=t=1，則得到此時AC=AQ+CQ=3．

（1），；

（2）當AC的長為3時，存在t=1，使四邊形AMQN為正方形．理由如下：

∵四邊形AMQN為正方形．

∴∠MAN=90．∴MN為⊙O的直徑；

∴MN=AQ=2．∴t=AP==1，

又∵CQ=t=1，∴AC=AQ+CQ=2+1=3