Question

【題目】定義：對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量x的一個值，當(dāng)x＜0時，它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)x≥0時，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù)．例如：一次函數(shù)y=x﹣1，它的相關(guān)函數(shù)為y= ．
（1）已知點(diǎn)A（﹣5，8）在一次函數(shù)y=ax﹣3的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a的值；
（2）已知二次函數(shù)y=﹣x2+4x﹣ ．①當(dāng)點(diǎn)B（m， ）在這個函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上時，求m的值；
②當(dāng)﹣3≤x≤3時，求函數(shù)y=﹣x2+4x﹣ 的相關(guān)函數(shù)的最大值和最小值；
（3）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（﹣ ，1），（ ，1），連結(jié)MN．直接寫出線段MN與二
次函數(shù)y=﹣x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個公共點(diǎn)時n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)y=ax﹣3的相關(guān)函數(shù)為y= ，將點(diǎn)A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1．
（2）解：二次函數(shù)y=﹣x2+4x﹣ 的相關(guān)函數(shù)為y=

①當(dāng)m＜0時，將B（m， ）代入y=x2﹣4x+ 得m2﹣4m+ = ，解得：m=2+ （舍去）或m=2﹣ ．

當(dāng)m≥0時，將B（m， ）代入y=﹣x2+4x﹣ 得：﹣m2+4m﹣ = ，解得：m=2+ 或m=2﹣ ．

綜上所述：m=2﹣ 或m=2+ 或m=2﹣ ．

②當(dāng)﹣3≤x＜0時，y=x2﹣4x+ ，拋物線的對稱軸為x=2，此時y隨x的增大而減小，

∴此時y的最大值為 ．

當(dāng)0≤x≤3時，函數(shù)y=﹣x2+4x﹣ ，拋物線的對稱軸為x=2，當(dāng)x=0有最小值，最小值為﹣ ，當(dāng)x=2時，有最大值，最大值y= ．

綜上所述，當(dāng)﹣3≤x≤3時，函數(shù)y=﹣x2+4x﹣ 的相關(guān)函數(shù)的最大值為 ，最小值為﹣ ；

（3）解：如圖1所示：線段MN與二次函數(shù)y=﹣x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有1個公共點(diǎn)．

所以當(dāng)x=2時，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．

如圖2所示：線段MN與二次函數(shù)y=﹣x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有3個公共點(diǎn)

∵拋物線y=x2﹣4x﹣n與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，

∴﹣n=1，解得：n=﹣1．

∴當(dāng)﹣3＜n≤﹣1時，線段MN與二次函數(shù)y=﹣x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個公共點(diǎn)．

如圖3所示：線段MN與二次函數(shù)y=﹣x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有3個公共點(diǎn)．

∵拋物線y=﹣x2+4x+n經(jīng)過點(diǎn)（0，1），

∴n=1．

如圖4所示：線段MN與二次函數(shù)y=﹣x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個公共點(diǎn)．

∵拋物線y=x2﹣4x﹣n經(jīng)過點(diǎn)M（﹣ ，1），

∴ +2﹣n=1，解得：n= ．

∴1＜n≤ 時，線段MN與二次函數(shù)y=﹣x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個公共點(diǎn)．

綜上所述，n的取值范圍是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤ ．

【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖像上，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式;（2）對于點(diǎn)B（m， ）,由于m不知正負(fù)，因此需分類討論;（2）由于﹣3≤x≤3有正又有負(fù)，因此需分段：3≤x＜0和0≤x≤3，分別對應(yīng)著相關(guān)函數(shù)的兩段解析式，分別求最大值和最小值，最后比較兩段函數(shù)的最大值的較大著作為整個函數(shù)的最大值;（3）需數(shù)形結(jié)合，按照拋物線與y軸的交點(diǎn)由低到高，可推出﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤ .
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．