Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(－1,0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0,－2)．

（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出其對稱軸

（2）點(diǎn)E為該拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)F在對稱軸上，四邊形ACEF為梯形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)

（3）點(diǎn)D為該拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P(t, 0)，且t＞3，如果△BDP和△CDP的面積相等，求t的值．

Answer 1

【答案】（1），對稱軸為直線x＝1；（2）點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，4）；（3）t的值為5

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的表達(dá)式，進(jìn)一步得到對稱軸即可；
（2）因?yàn)?/span>AC與EF不平行，且四邊形ACEF為梯形，所以有CE∥AF，得到∠FAE＝∠OEC，利用tan∠FAE=tan∠OEC，即可求出EF，得到點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）計(jì)算出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)t﹥3，得出得點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，表達(dá)出S△BPD與S△CDP，列出方程即可求出t的值．

解：（1）點(diǎn)A（－1，0）和點(diǎn)C（0，－2）在拋物線上，

∴，解得

∴該拋物線的表達(dá)式為：

該拋物線的對稱軸為直線x＝1

（2）∵點(diǎn)E為該拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)，

∴E（1，0）

∵AC與EF不平行，四邊形ACEF為梯形，AC與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C，

∴AF∥CE，

∴∠FAE＝∠OEC

在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，

在Rt△OEC中，，

∴．

∵OC＝2，OE＝1，AE＝2，

∴，

解得EF＝4

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，4）

（3）∵，

∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是，

∵點(diǎn)A（－1，0），

∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，0）

由點(diǎn)P（t，0），且t﹥3，得點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，

過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，

則，

即

∵，

∴

∴t＝5

即符合條件的t的值為5．