Question

【題目】如圖，已知拋物線(a≠0)的對稱軸為直線，且拋物線經過A(1，0)，C(0，3)兩點，與軸交于點B．

（1）若直線經過B，C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使MA+MC的值最小，求點M的坐標；

（3）設P為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使ΔBPC為直角三角形的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x+3，；（2）M(﹣1，2)；（3）P的坐標為(-1，-2)或(-1，4)或(-1，)或(-1，)．

【解析】

（1）先把點A，C的坐標分別代入拋物線解析式得到a和b，c的關系式，再根據拋物線的對稱軸方程可得a和b的關系，再聯立得到方程組，解方程組，求出a，b，c的值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點的坐標代入直線y=mx+n，解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式；
（2）設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．把x=-1代入直線y=x+3得y的值，即可求出點M坐標；
（3）設P（-1，t），又因為B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點P的坐標．

解：（1）由題意得：

解得：，∴拋物線的解析式為：

由題意得B(-3，0)

把B(-3，0)，C(0，3)代入得：

解得：，∴直線的解析式為

（2）設直線BC與對稱軸x=﹣1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．

代入直線得，∴M(﹣1，2)，

即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為(﹣1，2)；

（3）設P(-1，t)，B(-3，0)，C(0，3)，∴，，

若點B為直角頂點時，則

即：

解得：

若點C為直角頂點時，則

即：

解得：

若P為直角頂點時，則

即：

解得：

綜上所述：P的坐標為(-1，-2)或(-1，4)或(-1，)或(-1，)．