Question

【題目】（1）已知：如圖1，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線交于點O，求證：∠BOC=90°+∠A；

（2）如圖2，在△ABC中，BP，CP分別是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分線，試探究∠BPC與∠A的關系．

（3）如圖3，在△ABC中，CE平分∠ACB，BE是△ABC的外角∠ABD的平分線，試探究∠BEC與∠A的關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠BPC=90°∠A，理由見解析；（3）2∠BEC=∠A.

【解析】

（1）先根據三角形內角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，則2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根據角平分線的定義得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，則2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A；

（2）根據三角形外角平分線的性質可得∠BCP=（∠A+∠ABC）、∠PBC=（∠A+∠ACB）；根據三角形內角和定理可得∠BPC=90°-∠A；

（3）根據CE為∠ABC的角平分線，BE為△ABC外角∠ABD的平分線，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠E=180°-∠4-∠ABE=180°-∠3-（∠A+2∠1），兩式聯立可得2∠BEC=∠A．

(1)證明：在△BOC中，

∵∠BOC=180°∠OBC∠OCB，

∴2∠BOC=360°2∠OBC2∠OCB，

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，

∴2∠BOC=360°(∠ABC+∠ACB)，

∵∠ABC+∠ACB=180°∠A，

∴2∠BOC=180°+∠A，

∴∠BOC=90°+∠A；

(2)∠BPC=90°∠A.

證明：∵BP、CP為△ABC兩外角∠ABC、∠ACB的平分線,∠A為x°，

∴∠BCP= (∠A+∠ABC)、∠PBC= (∠A+∠ACB)，

由三角形內角和定理得,∠BPC=180°∠BCP∠PBC=180° [∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]=180° (∠A+180°)=90°∠A；

(3)2∠BEC=∠A.

證明：∵CE為∠ACB的角平分線，BE為△ABC外角∠ABD的平分線，兩角平分線交于點E，

∴∠1=∠2,∠ABE= (∠A+2∠1),∠3=∠4,

在△ACF中,∠A=180°∠1∠3

∴∠1+∠3=180°∠A①

在△BEF中,∠E=180°∠4∠ABE=180°∠3 (∠A+2∠1)，

即2∠E=360°2∠3∠A2∠1=360°2(∠1+∠3)∠A②，

把①代入②得2∠E=∠A，即2∠BEC=∠A.