Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點，E，F分別是邊BM，CM的中點，當AB與AD滿足什么條件時，四邊形MENF是正方形？說明理由．

Answer 1

【答案】當AB∶AD＝1∶2時，四邊形MENF是正方形，理由見解析.

【解析】

當AB∶AD＝1∶2時，AB＝AM＝DM＝DC，求出∠BMC＝90°，根據三角形中位線定理得到，NF∥BM，NE∥CM，結合ME＝MF，∠BMC＝90°，可得四邊形MENF是正方形.

當AB∶AD＝1∶2時，四邊形MENF是正方形，

理由：∵AB∶AD＝1∶2，AM＝DM，AB＝CD，

∴AB＝AM＝DM＝DC，

∵∠A＝∠D＝90°，

∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，

∴∠BMC＝90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠DCB＝90°，

∴∠MBC＝∠MCB＝45°，

∴BM＝CM，

∵N，E，F分別是BC，BM，CM的中點，

∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，

∴四邊形MENF是平行四邊形，

∵ME＝MF，∠BMC＝90°，

∴四邊形MENF是正方形.