Question

【題目】如圖，拋物線頂點A的坐標為（1，4），拋物線與x軸相交于B、C兩點，與y軸交于點E（0，3）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）已知點F（0，﹣3），在拋物線的對稱軸上是否存在一點G，使得EG+FG最小，如果存在，求出點G的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）存在，G（1，0）．

【解析】

（1）根據題目可設二次函數的頂點式，代入值求解

（2）根據二次函數圖像的對稱性找對稱點，可求得E'F的解析式，即可求得G點坐標.

（1）設拋物線的表達式為：y=a（x﹣1）2+4，

把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4，

a=﹣1，

∴拋物線的表達式為：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；

（2）存在，

如圖1，作E關于對稱軸的對稱點E'，連接E'F交對稱軸于G，此時EG+FG的值最小，

∵E（0，3），

∴E'（2，3），

易得E'F的解析式為：y=3x﹣3，

當x=1時，y=3×1﹣3=0，

∴G（1，0）