Question

如圖，邊長為1的正方形OABC的頂點O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上．動點D在線段BC上移動（不與B，C重合），連接OD，過點D作DE⊥OD，交邊AB于點E，連接OE．記CD的長為t．
（1）當t=

1

3

時，求直線DE的函數表達式；
（2）如果記梯形COEB的面積為S，那么是否存在S的最大值？若存在，請求出這個最大值及此時t的值；若不存在，請說明理由；
（3）當OD²+DE²的算術平方根取最小值時，求點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）因為∠ODC+∠EDB=∠ODC+∠COD=90°，可得出∠DOC=∠EDB，同理得∠ODC=∠DEB，又因為∠OCD=∠B=90°，因此△CDO∽△BED，那么可得出關于OC，CD，BD，BE比例關系的式子，有CD的長，有OC，BC的長，那么可得出BE的長，因此就能求出E的坐標，然后根據待定系數法求出過DE的函數的關系式；
（2）要求梯形COEB的面積就必須知道BE的長，同（1）的方法，我們可以用t表示出BE，那么就能用關于t的式子表示出S，然后根據函數的性質來判斷S的最大值及相應的t的值．
（3）當OD²+DE²的算術平方根取最小值時OE就最小，OA為定值，因此此時AE最小，那么三角形AOE的面積就最小，此時梯形OEBC的面積最大，那么也就是說OE最小時梯形OEBC的面積最大，根據（2）我們知道梯形最大時t的值，由此可得出E的坐標．

解答：解：（1）∵∠ODC+∠EDB=∠ODC+∠COD=90°，
∴∠DOC=∠EDB，
同理得∠ODC=∠DEB，
∵∠OCD=∠B=90°，
∴△CDO∽△BED，
∴

CD

BE

=

CO

BD

，即

1 3

BE

=

1

1- 1 3

，
得BE=

2

9

，則點E的坐標為E（1，

7

9

），
設直線DE的一次函數表達式為y=kx+b，直線經過兩點D（

1

3

，1）和E（1，

7

9

），
代入y=kx+b得k=-

1

3

，b=

10

9

，
故所求直線DE的函數表達式為y=-

1

3

x+

10

9

；

（2）存在S的最大值．
∵△COD∽△BDE，
∴

CD

BE

=

CO

DB

，即

t

BE

=

1

1-t

，BE=t-t²，
S=

1

2

×1×（1+t-t²）=-

1

2

(t-

1

2

)2+

5

8

．
故當t=

1

2

時，S有最大值

5

8

；

（3）在Rt△OED中，OD²+DE²=OE²，OD²+DE²的算術平方根取最小值，也就是斜邊OE取最小值．
當斜邊OE取最小值且一直角邊OA為定值時，另一直角邊AE達到最小值，
于是△OEA的面積達到最小值，
此時，梯形COEB的面積達到最大值．
由（2）知，當t=

1

2

時，梯形COEB的面積達到最大值，故所求點E的坐標是（1，

3

4

）．

點評：本題考查了正方形的性質，一次函數的綜合應用以及相似三角形的性質等知識點．本題中用相似三角形得出比例關系，然后用線段的比例關系和CD表示出BE是解題的關鍵．