Question

如圖，邊長為6的正方OABC的頂點O在坐標原點處，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點E是OA邊上的點（不與點A重合），EF⊥CE，且與正方形外角平分線AC交于點P．
（1）當點E坐標為（3，0）時，證明CE=EP；
（2）如果將上述條件“點E坐標為（3，0）”改為“點E坐標為（t，0）”，結論CE=EP是否仍然成立，請說明理由；
（3）在y軸上是否存在點M，使得四邊形BMEP是平行四邊形？若存在，用t表示點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）方法一：在OC上截取OH=OE，可得△OEH是等腰直角三角形，然后求出∠CHE=135°，且CH=EA，再根據AG是正方形外角平分線可以求出∠EAP=135°，從而得到∠CHE=∠EAP，再根據EF⊥CE推出∠ECO=∠PED，然后利用“角邊角”證明△CHE和△EAP全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；
方法二：過點P作PD⊥x軸于點D，根據AG是正方形外角平分線可得△ADP是等腰直角三角形，設PD=x，用x表示出ED，再根據EF⊥CE推出∠ECO=∠PED，從而得到△CEO和△EPD相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出x的值，即可得證；
（2）方法一：與（1）求法相同；
方法二：與（1）同理求出PD的長度，即可得解；
（3）設點M的坐標為（0，y），根據點的坐標利用勾股定理分別表示出BM、ME、PE、PB的平方，再根據平行四邊形的對邊相等利用一組對邊列出方程求解，用t表示出y，然后代入另一組進行驗證，相等則能使四邊形BMEP是平行四邊形，否則不能使四邊形BMEP是平行四邊形．

解答：（1）證明：方法一：如圖1①，在OC上截取OH=OE，則△OEH是等腰直角三角形，
∠CHE=180°-45°=135°，
∵CH=OC-OH=6-3=3，EA=OA-OE=6-3=3，
∴CH=EA，
∵AG是正方形外角平分線，
∴∠EAP=90°+45°=135°，
∴∠CHE=∠EAP=135°，
∵EF⊥CE，
∴∠CEO+∠PED=180°-90°=90°，
又∵∠ECO+∠CEO=90°，
∴∠ECO=∠PED，
在△CHE和△EAP中，

∠CHE=∠EAP=135° CH=EA ∠ECO=∠PED

，
∴△CHE≌△EAP（ASA），
∴CE=EP；
方法二：如圖1②，過點P作PD⊥x軸于點D，
∵AG是正方形外角平分線，
∴△ADP是等腰直角三角形，
設PD=x，則AD=x，
∵點E坐標為（3，0），正方形的邊長為6，
∴AE=6-3=3，
∴ED=3+x，
∵EF⊥CE，
∴∠CEO+∠PED=180°-90°=90°，
又∵∠ECO+∠CEO=90°，
∴∠ECO=∠PED，
又∠COE=∠PDE=90°，
∴△CEO∽△EPD，
∴

CO

ED

=

OE

PD

，
即

6

3+x

=

3

x

，
解得x=3，
∴PD=OE=3，ED=OC=6，
故，根據勾股定理可得CE=EP；

（2）解：CE=EP仍然成立．
理由如下：
方法一：同（1）可求∠CHE=∠EAP=135°，∠ECO=∠PED，
又∵CH=OC-OH=6-t，EA=OA-OE=6-t，
∴CH=EA，
在△CHE和△EAP中，

∠CHE=∠EAP=135° CH=EA ∠ECO=∠PED

，
∴△CHE≌△EAP（ASA），
∴CE=EP；
方法二：當點E的坐標為（t，0）時，與（1）同理，

6

6-t+x

=

t

x

，
整理得，t²-tx+6x-6t=0，
即（t-x）（t-6）=0，
∵點E是OA邊上的點（不與點A重合），
∴t≠6，
∴t-x=0，
解得x=t，
∴PD=OE=t，ED=6-t+t=6=OC，
根據勾股定理可得CE=EP；

（3）解：如圖2，∵點E（t，0），
∴PE²=CE²=CO²+OE²=36+t²，
PB²=t²+（6-t）²，
設點M的坐標為（0，y），
則ME²=t²+y²，BM²=6²+（6-y）²，
∵四邊形BMEP是平行四邊形，
∴PE²=BM²，
即36+t²=6²+（6-y）²，
解得y₁=6-t，y₂=6+t，
當y₁=6-t時，ME²=t²+y²=t²+（6-t）²=PB²，
∴ME=PB，
∴當點M（0，6-t）時，四邊形BMEP是平行四邊形，
當y₂=6+t時，ME²=t²+y²=t²+（6+t）²≠PB²，
∴ME≠PB，
∴當點M（0，6+t）時，四邊形BMEP不是平行四邊形，
綜上所述，y軸上存在點M（0，6-t）時，四邊形BMEP是平行四邊形．

點評：本題綜合考查了一次函數，正方形的性質，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，平行四邊形的對邊相等，（3）根據平行四邊形的對邊相等列出方程有技巧，要掌握．