Question

半徑為2.5的⊙O中，直徑AB的不同側有定點C和動點P．已知BC∶CA = 4∶3，點P在⊙O上運動，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q．

（1）當點P運動到與點C關于AB對稱時，求CQ的長；

（2）當點P運動到弧CP的中點時，求CQ的長．

(3)當點P運動到什么位置時，CQ取到最大值，并求此時CQ的長．

Answer 1

解：（1）當點P運動到與點C關于AB對稱時，如圖所示，此時CP⊥AB于D，

      

又∵AB為⊙O的直徑，         ∴∠ACB =90°．

∵AB=5,  BC∶CA=4∶3，      ∴BC = 4, AC=3．

又∵AC?BC=AB?CD，        ∴ ,  ．

在Rt△PCQ中，∠PCQ = 90°,  ∠CPQ =∠CAB，

∴.  

∴．        

(2) 當點P運動到弧CP的中點時,如圖所示，過點B作BE⊥PC于點E，

     

∵P是弧AB的中點, ∠PCB=45°,    ∴．

又∠CPB=∠CAB，               ∴tan∠CPB= tan∠CAB=，

即    ,  從而．

由（1）得，．

(3)因為點P在⊙O上運動過程中，在Rt△PCQ中，有．

所以PC最大時，CQ取到最大值．

∴當PC過圓心O，即PC 取最大值 5時，CQ最大，最大為．