Question

半徑為2.5的⊙O中，直徑AB的不同側有定點C和動點P．已知BC：CA=4：3，點P在

AB

上運動，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q．
（1）當點P與點C關于AB對稱時，求CQ的長；
（2）當點P運動到

AB

的中點時，求CQ的長；
（3）當點P運動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長．

Answer 1

分析：（1）如果點P與點C關于AB對稱，根據垂徑定理可得出CP⊥AB，在直角三角形ABC中，根據△ABC面積的不同表示方法可求出CD的長，即可得出PC的值，進而可通過相似三角形△PQC和△ABC（∠A=∠P，一組直角）求出CQ的長．
（2）當點P運動到弧AB的中點時，過點B作BE⊥PC于點E（如圖）；由于P是弧AB的中點，由圓周角定理得∠ACP=∠PCB=45°，由△CEB是等腰直角三角形，可得CE=BE=

2

2

BC=2

2

；又由圓周角定理得∠CPB=∠CAB，由正切的概念知tan∠CPB=tan∠CAB=

4

3

=BE：PE，得到PE=

BE

tan∠CPB

=

3

4

BE=

3 2

2

進而求得PC，而從（1）中得，CQ=

4

3

PC=

14 2

3

．
（3）如果CQ去最大值，那么PC也應該取最大值，因此當PC是圓O的直徑時，CQ才取最大值．此時PC為5，可根據上面得出的PC、CQ的比例關系求出CQ的長．

解答：解：（1）當點P與點C關于AB對稱時，CP⊥AB，設垂足為D．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴AB=5，又∵BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3．
又∵

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CD
∴CD=

12

5

，PC=

24

5

在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
Rt△ACB∽Rt△PCQ
∴

AC

BC

=

PC

CQ

，
∴CQ=

BC•PC

AC

=

4

3

PC=

32

5

．

（2）當點P運動到弧AB的中點時，過點B作BE⊥PC于點E（如圖）．
∵P是弧AB的中點，
∴∠PCB=45°，CE=BE=

2

2

BC=2

2

又∠CPB=∠CAB
∴tan∠CPB=tan∠CAB=

4

3

∴PE=

BE

tan∠CPB

=

3

4

BE=

3 2

2

，PC=

7 2

2

而從（1）中得，CQ=

4

3

PC=

14 2

3

．

（3）點P在弧AB上運動時，恒有CQ=

BC•PC

AC

=

4

3

PC；
故PC最大時，CQ取到最大值．
當PC過圓心O，即PC取最大值5時，CQ最大值為

20

3

．

點評：本題屬于常規的幾何綜合題，利用了直角三角形的面積公式，相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，正切的概念求解．解第3小問時要有動態的思想（在草稿上畫畫圖）不難猜想出結論．