Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB經過弦CD的中點E，點M在OD上，AM的延長線交⊙O于點G，交過D的直線于F，∠1=∠2，連結BD與CG交于點N．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若點M是OD的中點，⊙O的半徑為3，tan∠BOD=，求BN的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）根據切線的判定定理得出∠1+∠BDO=90°，即可得出答案；

（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠C，再利用相似三角形的判定方法得出即可；根據已知得出OE的長，進而利用勾股定理得出ED，AD，BD的長，即可得出CD，利用相似三角形的性質得出NB的長即可．

試題解析：解：（1）證明：∵直徑AB經過弦CD的中點E，∴AB⊥CD， ，∴∠BOD=2∠2．

∵∠1=∠2，∠BOD+∠ODE=90°，∴∠ODE+∠1+∠2=90°，∴∠ODF=90°，∴DF是⊙O的切線；

（2）解：∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB=∠FDO=90°，∴∠ADB﹣∠BDO=∠FDO﹣∠BDO，即∠3=∠1，∴∠3=∠2，∵∠4=∠C，∴△ADM∽△CDN；

∵⊙O的半徑為3，即AO=DO=BO=3，在Rt△DOE中，tan∠BOD=，cos∠BOD=，∴OE=DOcos∠BOD=3×=1，由此可得：BE=2，AE=4，由勾股定理可得：DE==，AD==，BD==，∵AB是⊙O直徑，AB⊥CD，∴由垂徑定理得：CD=2DE=，∵△ACM∽△DCN，∴，∵點M是DO的中點，DM=AO=×3=，∴DN===，∴BN=BD﹣DN==．