Question

32、探索規律：觀察下面由※組成的圖案和算式，解答問題：
1+3=4=2²，1+3+5=9=3²，1+3+5+7=16=4²，1+3+5+7+9=25=5²
（1）請猜想1+3+5+7+9+…+19=

100

；
（2）請猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=

（n+2）²

；
（3）請用上述規律計算：103+105+107+…+2003+2005．

Answer 1

分析：（1）由等式可知左邊是連續奇數的和，右邊是數的個數的平方，由此規律解答即可；
（2）由（1）的結論可知是n 個連續奇數的和，得出結果；
（3）1+3+5+…+2003+2005是連續1003個奇數的和，再由（2）直接得出結果．

解答：解：（1）由圖片知：
第1個圖案所代表的算式為：1=1²；
第2個圖案所代表的算式為：1+3=4=2²；
第3個圖案所代表的算式為：1+3+5=9=3²；
…
依次類推：第n個圖案所代表的算式為：1+3+5+…+（2n-1）=n²；
故當2n-1=19，
即n=10時，1+3+5+…+19=10²．

（2）由（1）可知：1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3），
=1+3+5+7+9+…+（2n-1）+[2（n+1）-1]+[2（n+2）-1]，
=（n+2）²．

（3）103+105+107+…+2003+2005，
=（1+3+…+2003+2005）-（1+3+…+99+101），
=1003²-51²
=1006009-2601，
=1003408．

點評：此題重在發現連續奇數和的等于數的個數的平方，利用此規律即可解決問題．