Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點M，經過B、M兩點的⊙O交BC于點G，交AB于點F，FB恰為⊙O的直徑．

（1）判斷AE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若BC=6，AC=4CE時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）AE與⊙O相切．理由見解析.（2）2.4

【解析】

（1）連接OM，則OM=OB，利用平行的判定和性質得到OM∥BC，∠AMO=∠AEB，再利用等腰三角形的性質和切線的判定即可得證；

（2）設⊙O的半徑為r，則AO=12﹣r，利用等腰三角形的性質和解直角三角形的有關知識得到AB=12，易證△AOM∽△ABE，根據相似三角形的性質即可求解.

解：（1）AE與⊙O相切．

理由如下：

連接OM，則OM=OB，

∴∠OMB=∠OBM，

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM=∠EBM，

∴∠OMB=∠EBM，

∴OM∥BC，

∴∠AMO=∠AEB，

在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，

∴AE⊥BC，

∴∠AEB=90°，

∴∠AMO=90°，

∴OM⊥AE，

∴AE與⊙O相切；

（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，

∴BE=BC，∠ABC=∠C，

∵BC=6，cosC=，

∴BE=3，cos∠ABC=，

在△ABE中，∠AEB=90°，

∴AB===12，

設⊙O的半徑為r，則AO=12﹣r，

∵OM∥BC，

∴△AOM∽△ABE，

∴，

∴=，

解得：r=2.4，

∴⊙O的半徑為2.4．