Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的延長線相交于點E．另一組對邊AB、DC的延長線相交于點F，若cos∠ABC=cos∠ADC=，CD=5，CF=ED=n，則AD的長為_____（用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：作輔助線，構建直角三角形，利用三角函數計算DH和CH的長，并設AD=5a，則DG=3a，AG=4a，證明△AFG∽△CEH，列比例式可得a的值，從而得AD的長．

詳解：過C作CH⊥AD于H．

∵cos∠ADC=，CD=5，∴DH=3，∴CH=4，∴tan∠E==，

過A作AG⊥CD于G，設AD=5a，則DG=3a，AG=4a，

∴FG=DF﹣DG=5+n﹣3a．

∵CH⊥AD，AG⊥DF．

∵∠CHE=∠AGF=90°．

∵∠ADC=∠ABC，∴∠EDC=∠CBF．

∵∠DCE=∠BCF，∴∠E=∠F，∴△AFG∽△CEH，

∴，∴a=，∴AD=5a=．

故答案為：．