Question

【題目】如圖，△ABD是等腰三角形，AB=AD，將△ABD沿BD翻折得△CBD，點P是線段BD上一點，
（1）如圖1，連接PA、PC，求證：CP=AP；

（2）如圖2，連接PA，若∠BAP=90°時，作∠DPF=45°，線段PF交線段CD于F，求證：AD=AP+DF；

（3）如圖3，∠ABD=30°，連接AP并延長交CD于M，若∠BAM=90°，在BD上取一點Q，且DQ=3BQ，連BM、CQ，當BM= 時，求CQ的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由翻折有，AD=CD，∠ADP=∠CDP，

在△ADP和△CDP中，

∴△ADP≌△CDP，

∴CP=AP

（2）

證明：連接PC，由（1）有，AP=CP，

由翻折有∠BCP=∠BAP=90°，

∴∠CBP+∠BPC=90°，

∵AD=AB=CB=CD，

∴∠CBP=∠CDP，

∴∠CDP+∠BPC=90°，

∵∠DPF=45°，

∴∠BPC+∠CPF=135°，

∴∠CPF=∠CDP+45°，

∵∠CFP=∠CDP+∠BPF=∠CDP+45°，

∴∠CPF=∠CFP，

∴CP=CF，

∴AD=CB=CF+FD=CP+FD=AP+FD

（3）

證明：如圖，連接AQ，AC，

由（1）有，AQ=CQ，AP=CP，由翻折有AB=BC，AD=CD，

∵AB=AD，

∴AB=BC=CD=AD，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，∠BAD=120°，

∵DQ=3BQ，

∴BQ=OQ，

∴四邊形CPAQ也是菱形，

∵∠BAM=90°，∠BAD=120°，

∴∠BAQ=∠DAM=30°，

∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=30°，

∵∠ADM=60°，

∴∠AMD=90°，

∵△ACD等邊三角形，

∴CD=2DM．

設DM=x，

∴CD=AD=AB=2DM=2x，AM= x，

在Rt△ABM中，BM= ，

∴AB2+AM2=BM2，

∴（2x）2+（ x）2=（ ）2，

∴x= 或x=﹣ （舍），

在RT△AOB中，∠ABD=30°，

∴OA= AB=x，OB= x，

∵OQ=BQ= OB= x，

在RT△AOQ中，AQ= = x= ，

∴CQ=AQ= ．

【解析】（1）由翻折得到條件，直接判斷出△ADP≌△CDP，即可；（2）由（1）結論CP=AP，用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角的和及平角的定義判斷出∠CPF=∠CFP，得到CP=CF，即可；（3）由（1）的結論判斷出四邊形ABCD是菱形，繼而判斷出四邊形AQCP也是菱形，利用勾股定理求出MN即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的性質的相關知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角），以及對等腰三角形的判定的理解，了解如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等．