Question

【題目】全民健身倡導(dǎo)全民做到每天參加一次以上的體育健身活動，旨在全面提高國民體質(zhì)和健康水平.某部門在該市年發(fā)布的全民健身指數(shù)中，其中的“運(yùn)動參與”的評分值（滿分分）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，制成如圖所示的散點(diǎn)圖：

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，建立關(guān)于的回歸方程；

（2）從該市的市民中隨機(jī)抽取了容量為的樣本，其中經(jīng)常參加體育鍛煉的人數(shù)為，以頻率為概率，若從這名市民中隨機(jī)抽取人，記其中“經(jīng)常參加體育鍛煉”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為： .

Answer 1

【答案】（1）（2）分布列見解析，

【解析】試題分析：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖及平均數(shù)公式可求出與的值可得樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求可得公式中所需數(shù)據(jù)，求出，再結(jié)合樣本中心點(diǎn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得關(guān)于的回歸方程；（2）從這名市民中隨機(jī)抽取人， 的可能取值為，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式求出個隨機(jī)變量對應(yīng)的概率，從而可得分布列，進(jìn)而利用期望公式可得的數(shù)學(xué)期望.

試題解析：（1）由題， ，

則

.

.

則.

所以運(yùn)動參與關(guān)于的回歸方程是.

（2）以頻率為概率，從這名市民中隨機(jī)抽取人，經(jīng)常參加體育鍛煉的概率為，由題， 的可能取值為.

則 .

分布列如下：

數(shù)學(xué)期望或.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查散點(diǎn)圖的應(yīng)用和線性回歸方程，屬于難題.求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計(jì)算的值；③計(jì)算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為； 回歸直線過樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.