Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C： (a>b>0)經過點(1，e)，其中e為橢圓的離心率．F1、F2是橢圓的兩焦點，M為橢圓短軸端點且△MF1F2為等腰直角三角形.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設不經過原點的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，第一象限內的點P(1，m)在橢圓上，直線OP平分線段AB，求：當△PAB的面積取得最大值時直線l的方程．

Answer 1

【答案】(1) ．(2) ．

【解析】試題分析：（1）根據等腰三角形的性質及點在橢圓上，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得結果；（2）設出直線方程，直線方程與橢圓方程聯立消去可得根據韋達定理、弦長公式以及三角形面積公式可得，換元后，利用導數求出三角形面積最大時的 的取值即可得到直線方程.

試題解析：　(1)∵橢圓＋＝1經過(1，e)，

∴＋＝1，

又e＝，∴＋＝1，解之得b2＝1，

∴橢圓方程為＋y2＝1．

又△MF1F2為等腰直角三角形，

∴b＝c＝1，a＝，

故橢圓方程為＋y2＝1．

(2)由(1)可知橢圓的方程為＋y2＝1，

故P(1，)，

由題意，當直線l垂直于x軸時顯然不合題意．

設不經過原點的直線l的方程y＝kx＋t(t≠0)交橢圓C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去y得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，

Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)·(2t2－2)＝16k2－8t2＋8>0，

∴x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝，

x1x2＝，

直線OP方程為y＝x且OP平分線段AB，

∴＝×，解得k＝－．

∴|AB|＝·

＝，

又∵點P到直線l的距離d＝＝h，

∴S△PAB＝|AB|h＝．

設f(t)＝(－t)2(4－2t2)

＝－2t4＋4t3－8t＋8，

由直線l與橢圓C相交于A、B兩點可得－<t<．

求導可得t＝－時f(t)在(－，)上有最大值，此時S△PAB取得最大值，

此時直線l的方程y＝－x－．

【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系，屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或 ；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.