Question

【題目】把邊長為1厘米的正方形紙片按下面的規律拼搭：

①那么第5個圖形應該由幾張正方形紙片拼成？

②第10個圖形的周長是多少厘米？

③如果拼成的圖形的周長是 200厘米，那么它是由幾張正方形紙片拼成的？

Answer 1

【答案】（1）根據題干分析可得：第n個圖形有n層，則小正方形個數是按1+2+3+…+n排列的；

所以第五個圖形的正方形個數為：1+2+3+4+5=15（個）；

答：第5個圖形應該由15張正方形紙片拼成。

（2）根據題干分析可得：第n個圖形周長就是：n×4=4n（厘米），

所以第10個圖形的周長是：10×4=40（厘米），

答：第10個圖形的周長是40厘米。

（3）根據（1）（2）中推理的結論可得：

200÷4=50（個），即這是第50個圖形；

1+2+3+…+50=（50+1）×（50÷2）=51×25=1275（個），

答：周長是 200厘米的圖形是由1275張正方形紙片拼成的。

【解析】（1）根據圖形中小正方形的個數來看，第一個圖形只有1層，是1個正方形；第二個圖形有2層，小正方形個數從上面開始按1+2的順序排列；第三個圖形有3層，小正方形個數是按1+2+3排列的；第四個圖形有4層，小正方形個數是按1+2+3+4的順序排列的…所以第n個圖形有n層，小正方形個數是按1+2+3+…+n排列的；所以第五個圖形是由1+2+3+4+5=（15）個正方形組成。

（2）根據題干觀察可得：第一個圖形周長是1×4=4（厘米），第二個圖形周長是2×4=8（厘米），第三個圖形周長是3×4=12（厘米），第四個圖形周長是4×4=16（厘米）…則第n個圖形周長就是n×4=4n（厘米），由此即可求得第10個圖形的周長。

（3）利用上題（2）中推理得出的結論：即可求出周長為200的圖形是第（200÷4=50）個圖形，利用（1）中推理的結論可得：第50個圖形中，小正方形的個數為：1+2+3+…+50，利用高斯求和的方法即可簡便計算得出答案。