Question

【題目】已知圓的半徑為3，圓心在軸正半軸上，直線與圓相切.

（1）求圓的標準方程；

（2）過點的直線與圓交于不同的兩點，而且滿足，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) （x﹣2）2+y2=9 (2) x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0，x=0

【解析】試題分析：

（1）可設圓心坐標為，由直線與圓相切，知圓心M到切線的距離等于半徑，可求得，從而得圓的標準方程；

（2）注意分類討論，當直線斜率不存在時，代入求出A、B兩點坐標，檢驗是否符合題意；當直線斜率存在時，設斜率為，得直線方程為，代入圓的方程，由韋達定理得，代入已知等式可求得的值，從而得直線方程．

試題解析：

（I）設圓心為M（a，0）（a＞0），

∵直線3x﹣4y+9=0與圓M相切

∴=3．

解得a=2，或a=﹣8（舍去），

所以圓的方程為：（x﹣2）2+y2=9

（II）當直線L的斜率不存在時，直線L：x=0，與圓M交于A（0，），B（0，﹣），

此時+=x1x2=0，所以x=0符合題意

當直線L的斜率存在時，設直線L：y=kx﹣3，

由消去y，得（x﹣2）2+（kx﹣3）2=9，

整理得：（1+k2）x2﹣（4+6k）x+4=0.........................................................（1）

所以

由已知得：

整理得：7k2﹣24k+17=0，∴

把k值代入到方程（1）中的判別式△=（4+6）2﹣16（1+k2）=48k+20k2中，

判別式的值都為正數，所以，所以直線L為：，

即x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0

綜上：直線L為：x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0，x=0