Question

在下面每個方格中填入一個數時，使得下列等式成立，并且要求每個等式的三個分母互質：
（1）

1

□□

+

1

18

=

1

□□

（2）

1

□□

+

1

21

=

1

□□

．

Answer 1

考點：橫式數字謎

專題：填運算符號、字母等的豎式與橫式問題

分析：（1）設

1

b

+

1

18

=

1

a

，10≤a＜18，可得

b-a

ab

=

1

18

，所以ab=18（b-a），然后根據a的取值，判斷出b的取值，再根據每個等式的三個分母互質判斷即可；
（2）設

1

n

+

1

21

=

1

m

，10≤m＜20，可得

n-m

mn

=

1

21

，所以mn=21（n-m），然后根據m的取值，判斷出n的取值，再根據每個等式的三個分母互質判斷即可．

解答： 解：（1）設

1

b

+

1

18

=

1

a

，10≤a＜18，
可得

b-a

ab

=

1

18

，
所以ab=18（b-a），
①當a=10、11、13時，b沒有整數解；

②當a=12時，可得12b=18（b-12），
解得b=36，
因為12、18、36的最大公約數是6，
所以不符合題意；

③當a=14時，可得14b=18（b-14），
解得b=63，
因為14、18、63的最大公約數是1，
所以符合題意，
因此

1

63

+

1

18

=

1

14

；

④當a=15時，可得15b=18（b-15），
解得b=90，
因為15、18、90的最大公約數是3，
所以不符合題意；

⑤當a=16時，可得16b=18（b-16），
解得b=144，b是三位數，
所以不符合題意；

⑥當a=17時，可得17b=18（b-17），
解得b=306，b是三位數，
所以不符合題意．
綜上，可得

1

63

+

1

18

=

1

14

．

（2）設

1

n

+

1

21

=

1

m

，10≤m＜20，
可得

n-m

mn

=

1

21

，
所以mn=21（n-m），
①當m=10、11、13、15、16、17、19時，n沒有整數解；

②當m=12時，可得12n=21（n-12），
解得n=28，
因為12、21、28的最大公約數是1，
所以符合題意，
因此

1

28

+

1

21

=

1

12

；

③當m=14時，可得14n=21（n-14），
解得n=42，
因為14、21、42的最大公約數是7，
所以不符合題意；

④當m=18時，可得18n=21（n-18），
解得n=126，n是三位數，
所以不符合題意；

⑤當m=20時，可得20n=21（n-20），
解得n=420，n是三位數，
所以不符合題意．
綜上，可得

1

28

+

1

21

=

1

12

．

故答案為：63、14、28、12．

點評：此題主要考查了橫式數字謎問題的應用，解答此題的關鍵是判斷出每個等式的未知的兩個分母的關系，并根據每個等式的三個分母互質，求出每個等式的未知的兩個分母的值是多少即可．