Question

【題目】已知函數,函數.

(1)當時,求函數的表達式；

(2)若，函數在上的最小值是，求的值；

(3)在(2)的條件下,求直線與函數的圖象所圍成圖形的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：(1)討論兩種情況，求出結果相同，直接代入，即可得函數的表達式；(2)利用基本不等式求得函數在上的最小值是由，可得的值；（3）先求得直線與函數的圖象的交點坐標，直線與函數的圖象所圍成圖形的面積就是,從而可得結果.

試題解析：

(1)因為f(x)=ln|x|,所以當x>0時,f(x)=lnx,f′(x)=,

當x<0時,f(x)=ln(-x),f′(x)=·(-1)=.所以當x≠0時,函數y=g(x)=x+.

(2)因為由(1)知當x>0時,g(x)=x+,

所以當a>0,x>0時,g(x)≥2,當且僅當x=時取等號.所以函數y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2,所以依題意得2=2,所以a=1.

(3)由解得所以直線y=x+與函數y=g(x)的圖象所圍成圖形的面積S=dx=+ln3-2ln2.