Question

【題目】用水平線和豎直線將平面分成若干個邊長為1，的小正方形格子，小正方形的頂點，叫做標點．以標點為頂點我們可以做三角形、四邊形、五邊形等多種多邊形，它們都叫做格點多邊形．設格點多邊形的面積為S，它各邊上格點的個數和為X，

（1）圖中的格點多邊形，其內部都只有一個格點，請你填寫下表：

多邊形的序號	①	②	③	④	…
多邊形的面積S	2	2.5
各邊上格點的個數和x	4	5

根據以上信息，當各邊上格點的個數和為x時，則多邊形的面積S=　　 ．

（2）請你在下列方格中在畫中一些格點多邊形（至少畫三個不同形式的），使這樣的多邊形內部都有而且只有2個格點．

此時各個多邊形的面積S與它各邊上格點的個數和X之間的關系是S=　　 ．

（3）請你繼續探索，當格點多邊形內部有且只有n個格點時，猜想S與x有怎么樣的關系，S=　 　．

Answer 1

【答案】（1）3，4，6，8，S=x；

（2），S=x+1；（3）S=x+（n﹣1）

【解析】

試題分析：（1）2=4×，2.5=5×；多邊形的面積=各邊上格點個數和的一半，即S=x；

（2）內部有2個格點就是指圖形的中間有2個小正方形的頂點，由此畫圖；并根據圖找出S與x的關系．

（3）由圖可知多邊形內部都有而且只有n格點時，面積為：S=x+（n﹣1）．

解：（1）圖中的格點多邊形，其內部都只有一個格點，請你填寫下表：

多邊形的序號	①	②	③	④	…
多邊形的面積S	2	2.5	3	4
各邊上格點的個數和x	4	5	6	8

根據以上信息，多邊形的面積=各邊上格點個數和的一半，即S=x；

（2）

根據圖可知：

正方形的面積是6，它的各邊上格點的個數和x是10，中間格點數是2，

6=10÷2+1；

三角形的面積是3，它的各邊上格點的個數和x是4，中間格點數是2，

3=4÷2+1；

梯形的面積是5，它的各邊上格點的個數和x是8，中間格點數是2，

5=8÷2+1；

那么S=x+1；

（3）通過上題探究可知：

最后的1就是內部的格點數2﹣1而得；

所以格點多邊形面積=各邊上格點的個數和×+（多邊形內部格點數﹣1）；即：

S=x+（n﹣1）；

故答案為：S=x；S=x+1；S=x+（n﹣1）．