Question

【題目】已知的實(shí)常數(shù)，函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ⅱ）證明： .

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)得，對實(shí)常數(shù)分情況討論，由 的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）（ⅰ）由（1）的討論，得出，再根據(jù)極小值為負(fù)數(shù)，得出的范圍；（ⅱ）由，得，即，令，對求導(dǎo)，得出單調(diào)性，要證，只需證就可得出結(jié)論，構(gòu)造， ，求導(dǎo)得出單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解即可。

試題解析：（1）.

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由，得.

若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

（2）（ⅰ）由（1）知，當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，沒有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)， 在處取得極小值.

由，得.

所以的取值范圍為.

（ⅱ）由，得，即.

所以.

令，則.

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

所以在遞減，在遞增，所以.

要證，只需證.

因?yàn)?/span>在遞增，所以只需證.

因?yàn)?/span>，只需證，即證.

令， ，則.

因?yàn)?/span>，所以，即在上單調(diào)遞減.

所以，即，

所以成立.