Question

課本中，把長與寬之比為

2

的矩形紙片稱為標準紙．請思考解決下列問題：
（1）將一張標準紙ABCD（AB＜BC）對開，如圖1所示，所得的矩形紙片ABEF是標準紙．請給予證明．
（2）在一次綜合實踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD（AB＜BC）進行如下操作：
第一步：沿過A點的直線折疊，使B點落在AD邊上點F處，折痕為AE（如圖2甲）；
第二步：沿過D點的直線折疊，使C點落在AD邊上點N處，折痕為DG（如圖2乙），此時E點恰好落在AE邊上的點M處；
第三步：沿直線DM折疊（如圖2丙），此時點G恰好與N點重合．
請你探究：矩形紙片ABCD是否是一張標準紙？請說明理由．
（3）不難發現：將一張標準紙按如圖3一次又一次對開后，所得的矩形紙片都是標準紙．現有一張標準紙ABCD，AB=1，BC=

2

，問第5次對開后所得標準紙的周長是多少？探索直接寫出第2012次對開后所得標準紙的周長．

Answer 1

分析：（1）根據

AB

AF

=

AB

1 2 BC

=2

AB

BC

=

2

2

=

2

，得出矩形紙片ABEF也是標準紙．
（2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出

AD

AB

=

2 a

a

=

2

，即可得出答案．
（3）分別求出每一次對折后的周長，進而得出變化規律求出即可．

解答：解：（1）是標準紙，理由如下：
因為矩形ABCD是標準紙，
所以

BC

AB

=

2

，
由對開的含義知：AF=

1

2

BC，
所以據

AB

AF

=

AB

1 2 BC

=2

AB

BC

=

2

2

=

2

，
所以矩形紙片ABEF也是標準紙．
（2）是標準紙，理由如下：
設AB=CD=a，由圖形折疊可知：DN=CD=DG=a，
DG⊥EM，
因為由圖形折疊可知：△ABE≌△AFE，
所以∠DAE=

1

2

∠BAD=45°，
所以△ADG是等腰直角三角形，
所以在Rt△ADG中，AD=

AG2+DG2

=

2

a，
所以

AD

AB

=

2 a

a

=

2

，
所以矩形紙片ABCD是一張標準紙．
（3）對開次數：
第一次，周長為：2（1+

1

2

2

）=2+

2

，
第二次，周長為：2（

1

2

+

1

2

2

）=1+

2

，
第三次，周長為：2（

1

2

+

1

4

2

）=1+

2

2

，
第四次，周長為：2（

1

4

+

1

4

2

）=

1+ 2

2

，
第五次，周長為：2（

1

4

+

1

8

2

）=

2+ 2

4

，
第六次，周長為：2（

1

8

+

1

8

2

）=

1+ 2

4

，
…
所以第5次對開后所得標準紙的周長是：

2+ 2

4

，
第2012次對開后所得標準紙的周長為：

1+ 2

21005

．

點評：此題主要考查了翻折變換性質以及規律性問題應用，根據已知得出對開后所得標準紙的周長變化規律是解題關鍵．