Question

【題目】有一個九位數的各位數字都不相同且全都不為0，并且二位數可被2整除，三位數可被3整除，四位數可被4整除，……依此類推，九位數可被9整除．請問這個 九位數是多少？

Answer 1

【答案】381654729

【解析】

由題可知這個九位數由數字1～9組成，其中每個數字出現一次，且、、、都是偶數，、、、、是奇數．由于可被5整除，所以．

由于可被3整除，所以、、三個數之和可被3整除．由于可被6整除，所以、、三個數之和可被3整除．

由于可被4整除，所以可被4整除，而是奇數，所以只能為2或6．由可被8整除知可被4整除，所以可被4整除，同上可知也只能為2或6．所以有如下兩種情況：

⑴，．此時可被3整除，只能為8．那么為4．由于、、三個數之和可被3整除，而、為1、3、7、9中的某兩個，所以、為1和7．那么為3或9，其中滿足可被8整除的只有9，所以為9，為3．此時為1472589或7412589，但這兩個數都不能被7整除，不符題意；

⑵，．此時可被3整除，只能為4．那么為8．此時 可被8整除，所以為3或7．又、、三個數之和可被3整除，而為8，所以、可以為(1，3)、(1，9)、(7，3)或(7，9)，所以此時有8種可能情況：189654327；981654327；789654321；987654321；183654729；381654729；189654723；981654723．經檢驗，其中只有381654729滿足能被7整除，所以所求的是381654729．