Question

【題目】平面上5個圓最多能把平面分成多少個部分？

Answer 1

【答案】22

【解析】

1個圓最多能把平面分成2個部分；2個圓最多能把平面分成4個部分；3個圓最多能把平面分成8個部分；現在加入第4個圓，為了使分成的部分最多，第4個圓必須與前面3個圓都有兩個交點．如圖1－72所示．因此得6個交點，這6個交點將第4個圓的圓周分成6段圓弧，而每一段圓弧將原來的部分一分為二，即增加了一個部分，于是，4個圓最多將平面分成8+6=14個部分．以此類推，我們可以計算出n個圓最多分平面的部分數為：2+1×2+2×2+…+(n-1)×2

=2+2［1+2+…+(n-1)］

=n2-n+2．

1個圓最多能把平面分成2個部分；2個圓最多能把平面分成4個部分；3個圓最多能把平面分成8個部分；現在加入第4個圓，為了使分成的部分最多，第4個圓必須與前面3個圓都有兩個交點．如圖1－72所示．因此得6個交點，這6個交點將第4個圓的圓周分成6段圓弧，而每一段圓弧將原來的部分一分為二，即增加了一個部分，于是，4個圓最多將平面分成8+6=14個部分．

同樣道理，5個圓最多將平面分成14+8=22個部分．

所以，5個圓最多將平面分成22個部分．