Question

【題目】給定數集,若對于任意,有,且，則稱集合為閉集合.

（I）判斷集合是否為閉集合，并給出證明；

（II）若集合為閉集合，則是否一定為閉集合?請說明理由；

（III）若集合為閉集合，且,證明：.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）不一定，證明見解析；（III）證明見解析.

【解析】

（I）根據特值，但是4+4=8A，判斷A不為閉集合，設，可證出，，B為閉集合（II）取特例A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，集合為閉集合，但不為閉集合即可（III）用反正正法，若AB=R，存在a∈R且aA，故a∈B，同理，因為BR，存在b∈R且bB，故b∈A，若，則由A為閉集合，，與aA矛盾，同理可知若，，與bB矛盾，即可證明.

（I）因為，但是4+4=8A，所以，A不為閉集合；

任取，設,

則且

所以，

同理，，故B為閉集合.

（II）結論：不一定.

令A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，

則由（I）可知，A，B為閉集合，但2，3∈AB，2+3=5AB，

因此，AB不為閉集合.

（III）證明：（反證）若AB=R,

則因為AR，存在a∈R且aA，故a∈B,

同理，因為BR，存在b∈R且bB，故b∈A,

因為a+b∈R=AB，所以，a+b∈A或a+b∈B,

若，則由A為閉集合，，與aA矛盾,

若，則由B為閉集合，，與bB矛盾,

綜上，存在c∈R，使得c（AB）.