Question

【題目】已知實數，函數(x∈R).

(1) 求函數的單調區間；

(2) 若函數有極大值32，求實數a的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）a＝27

【解析】

(1)首先求得函數的導函數，然后分類討論確定函數的單調區間即可；

(2)由題意得到關于a的方程，解方程求得實數a的值，然后檢驗是否符合題意即可.

(1)∵f(x)＝ax3－4ax2＋4ax，

∴f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x－2)(x－2)．

令f′(x)＝0，得x＝或x＝2.

當a>0時，函數f(x)的單調增區間是，(2，＋∞)；單調減區間是.

當a<0時，函數f(x)的單調增區間是,單調減區間是，(2，＋∞).

(2)∵f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有極大值32，而

∴當x＝時，f(x)取得極大值32，即a2＝32，∴a＝27.

當a＝27時，由(1)知，f（x）在增，在遞減，符合題設.