Question

【題目】從1，2，3，…，n中，任取57個數，使這57個數必有兩個數的差為13，則n的最大值為　　　　　　．

Answer 1

【答案】108．

【解析】

試題分析：被13除的同余序列當中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66…，中只要取到兩個相鄰的，這兩個數的差為13，如果沒有兩個相鄰的數，則沒有兩個數的差為13，不同的同余序列當中不可能有兩個數的差為13，對于任意一條長度為x的序列，都最多能取個數，即從第1個數起隔1個取1個

基于以上，n個數分成13個序列，每條序列的長度為或，兩個長度差為1的序列，能夠被取得的數的個數也不會超過1，所以能使57個數任意兩個數都不等于13，則這57個數被分配在13條序列中，當n取最小值時在每條序列被分配的數的個數差不會超過1，那么13個序列有8個分配了4個數，5個分配了5個數，這13個序列8個長度為8，5個長度為9，那么n=8×8+9×5=109，所以要使57個數必有兩個數的差為13，那么n的最大值為108．

解：基于以上分析，n個數分成13個序列，每條序列的長度為或，兩個長度差為1的序列，能夠被取得的數的個數也不會超過1，所以能使57個數任意兩個數都不等于13，則這57個數被分配在13條序列中，當n取最小值時在每條序列被分配的數的個數差不會超過1，那么13個序列有8個分配了4個數，5個分配了5個數，這13個序列8個長度為8，5個長度為9，那么n=8×8+9×5=109，所以要使57個數必有兩個數的差為13，那么n的最大值為108．