Question

【題目】有15位同學,每位同學都有編號,它們是1號到15號.1號同學寫了一個自然數,2號說:“這個數能被2整除”,3號說:“這個數能被3整除”,……,依次下去.每位同學都說,這個數能被他的編號數整除.1號作了一一驗證,只有編號連續的兩位同學說得不對,其余同學都對,如果告訴你,1號寫的數是六位數,那么這個數至少是多少?

Answer 1

【答案】300300

【解析】

首先可以斷定編號是2,3,4,5,6,7號的同學說的一定都對.不然,其中說得不對的編號乘以2后所得編號也將說得不對,這樣就與“只有編號連續的兩位同學說得不對”不符合.因此,這個數能被2,3,4,5,6,7都整除.

其次利用整除性質可知,這個數也能被2×5,3×4,2×7都整除,即編號為10,12,14的同學說得也對.從而可以斷定編號11,13,15的同學說得也對,不然,說得不對的編號不是連續的兩個自然數.

現在我們可以斷定說得不對的兩個同學的編號只能是8和9.

這個數是2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15的公倍數,由于上述十二個數的最小公倍數是

[2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15]

=22×3×5×7×11×13

=60060

設1號寫的數為60060(為整數),這個數是六位數,所以2.

若=2,則8|60060,不合題意,所以2.同理3,4.因為的最小值為5,這個數至少是60060×5=300300.