如圖①，直線AB與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點．OA、OB的長度分別為a和b，且滿足a²-2ab+b²=0．
（1）判斷△AOB的形狀．
（2）如圖②，正比例函數y=kx（k＜0）的圖象與直線AB交于點Q，過A、B兩點分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=9，BN=4，求MN的長．
（3）如圖③，E為AB上一動點，以AE為斜邊作等腰直角△ADE，P為BE的中點，連接PD、PO，試問：線段PD、PO是否存在某種確定的數量關系和位置關系？寫出你的結論并證明．

如圖，將邊長為4的等邊三角形AOB放置于平面直角坐標系xoy中，F是AB邊上的動點（不與端點A、B重合），過點F的反比例函數y=（k＞0，x＞0）與OA邊交于點E，過點F作FC⊥x軸于點C，連結EF、OF．
（1）若S_△OCF=，求反比例函數的解析式；
（2）在（1）的條件下，試判斷以點E為圓心，EA長為半徑的圓與y軸的位置關系，并說明理由；
（3）AB邊上是否存在點F，使得EF⊥AE？若存在，請求出BF：FA的值；若不存在，請說明理由．