如圖，△AOC在平面直角坐標系中，∠AOC=90°，且O為坐標原點，點A、C分別在坐標軸上，AO=4，OC=3，將△AOC繞點C按逆時針方向旋轉，旋轉后的三角形記為△CA′O′．
（1）求AC的長；
（2）當CA邊落在y軸上（其中旋轉角為銳角）時，一條拋物線經過A、C兩點且與直線AA′相交于x軸下方一點D，如果S_△AOD=9，求這條拋物線的解析式；
（3）繼續旋轉△CA′O′，當以CA′為直徑的⊙P與（2）中拋物線的對稱軸相切時，圓心P是否在拋物線上，請說明理由．

如圖，△AOC在平面直角坐標系中，∠AOC=90°，且O為坐標原點，點A、C分別在坐標軸上，AO=4，OC=3，將△AOC繞點C按逆時針方向旋轉，旋轉后的三角形記為△CA′O′．
（1）當CA邊落在y軸上（其中旋轉角為銳角）時，一條拋物線經過A、C兩點且與直線AA′相交于x軸下方一點D，如果S_△AOD=9，求這條拋物線的解析式；
（2）繼續旋轉△CA′O′，當以CA′為直徑的⊙P與（1）中拋物線的對稱軸相切時，圓心P是否在拋物線上，請說明理由．