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已知直線l₁，l₂分別與雙曲線C：的兩條漸近線平行，又與x軸分別交M，N于兩點，且滿足|OM|²+|ON|²=8。
（1）求直線l₁與l₂的交點H的軌跡的方程；
（2）過點S（0，3）作斜率為k的直線l，并且l與軌跡E交于不同兩點P，Q，點R與點P關(guān)于y軸對稱，證明直線RQ經(jīng)過一定點。

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設(shè)雙曲線C：的左、右頂點分別為A₁、A₂，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點。
（1）若直線m與x軸正半軸的交點為T，且，求點T的坐標(biāo)；
（2）求直線A₁P與直線A₂Q的交點M的軌跡E的方程；
（3）過點F（1，0）作直線l與（Ⅱ）中的軌跡E交于不同的兩點A、B，設(shè)，若（T為（1）中的點）的取值范圍。

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一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

    BCDCA   DCBBD    BC

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）

13．24     14．       15．5      16．4

三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17．解：（1）   =0

由正弦定理得：，

若因為所以，故

若，因為，所以，故

綜上或

18．解：（1）

當(dāng)時，

兩式相減得

即

當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列

要使數(shù)列是等比數(shù)列，

當(dāng)且僅當(dāng)，即

從而

（2）設(shè)數(shù)列的公差為

由得

故可設(shè)

又

右題意知

解得

又等差數(shù)列的前項和有最大值，

從而

19．解：（1）平面

證明：因為平面，所以，

又在中，，所以，又

所以，平面，

又在中，、分別是、上的動點，且

平面平面，

所以，不論為何值，總有平面；

（2）解：在中，，，所以，

又平面，所以，

又在中，，

由（1）知平面，

所以，三棱錐的體積是

20．解：（1）的所有可能取值為0，1，2，依題意得：

的分布列為

0

1

2

P

（2）設(shè)“甲、乙都不被選中”的事件為，則

所求概率為

（3）記“男生甲被選中”為事件，“女生乙被選中”為事件，

（或直接得）

21．解：（1）甲得是的中點

設(shè)依題意得:

消去，整理得

當(dāng)時，方程表示焦點在軸上的橢圓；

當(dāng)時，方程表示焦點在軸上的橢圓；

當(dāng)時，方程表示圓。

（Ⅱ）由，焦點在軸上的橢圓，直線與曲線恒有兩交點，

因為直線斜率不存在時不符合題意，

可設(shè)直線的方程為 ，直線與橢圓的交點為

要使為銳角，則有

即

可得，對于任意恒成立

而。

所以滿足條件的的取值范圍是

22．解：（1）當(dāng)時，

所以，在上是單調(diào)遞增，

（2）的定義域是

當(dāng)時，，所以，

當(dāng)時，，所以，，

所以，在上單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，

所以，

  （3）由（2）知在上是單調(diào)遞增函數(shù)，

若存在滿足條件，則必有，

也即方程在上有兩個不等的實根

但方程即只有一個實根

所以，不存在滿足條件的實數(shù)