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（本題滿分10分）已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．

1.（1）求證：點D是AB的中點；

2.（2）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結(jié)論；

3.（3）若⊙O的半徑為9，AB=12，求DE的長．

（本題滿分10分）

情境觀察

將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點A′與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是  ▲   ，∠CAC′=  ▲   °．

問題探究

如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分

別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等

腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為

P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論.

拓展延伸

如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H. 若AB= k AE，AC= k AF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關系，并說明理由.

（本題滿分10分）如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6. △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，連接AE.AC和BE相交于點O.

（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說明理由；

（2）如圖2，P是線段BC上一動點（圖2），（不與點B、C重合），連接PO并延長交線段AE于點Q，QR⊥BD，垂足為點R.

①四邊形PQED的面積是否隨點P的運動而發(fā)生變化？

若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積；

②當線段BP的長為何值時，△PQR與△BOC相似？

（本題滿分12分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E.

1.（1）求證：點E是邊BC的中點；（4分）

2.（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直徑AC的長度；（4分）

3.（3）若以點O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說明理由. （4分）

（本題滿分12分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E.

1.（1）求證：點E是邊BC的中點；（4分）

2.（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直徑AC的長度；（4分）

3.（3）若以點O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說明理由. （4分）