題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分13分)
把一顆骰子投擲兩次，記第一次出現的點數為
，第二次出現的點數為
（其中
）．
（Ⅰ）若記事件
“焦點在
軸上的橢圓的方程為
”，求事件的概率；
（Ⅱ）若記事件
“離心率為2的雙曲線的方程為
”，求事件的概率．
，第二次出現的點數為
（其中
）．
“焦點在
軸上的橢圓的方程為
”，求事件的概率；
“離心率為2的雙曲線的方程為
”，求事件的概率．一、選擇題：本小題共8小題，每小題5分，共40分.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
B
B
A
C
B
C
二、填空題：本小題9―12題必答，13、14、15小題中選答2題，若全答只計前兩題得分，共30分.
9. 35
10. 
11.
12. 
13.
或
14. 10
15. 
三、解答題：共80分.
16題（本題滿分13分）
解：（1）要使f(x)有意義，必須
，即
得f(x)的定義域為
………………………………４分
（２）因
在
上，
當
時取得最大值
………………………………………５分
當
時，
，得f(x)的遞減區間為
，遞增區間為
……９分
（３）因f(x)的定義域為，關于原點不對稱，所以f(x)為非奇非偶函數. ……………………………………………………………………１３分
17題（本題滿分13分）
解：（1）當且僅當
時，方程組有唯一解.因
的可能情況為
三種情況………………………………3分
而先后兩次投擲骰子的總事件數是36種，所以方程組有唯一解的概率
……………………………………………………………………6分
（2）因為方程組只有正數解，所以兩直線的交點在第一象限，由它們的圖像可知
………………………………………………………………9分
解得（a,b）可以是（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），所以方程組只有正數解的概率
………………………………………………………………………13分
18題（本題滿分14分）
解：（1）因
，所以AD⊥平面CDE，ED是AE在平面CDE上的射影，∠AED=450，所以直線AE與平面CDE所成的角為450………………………………4分（2）解法一：如圖，取AB、AD所在直線為x軸、y軸建立直角坐標系A―xyz.
則
………5分
設
，
得
…………9分
由
，得
，而
是平面CDE的一個法向量，且
平面CDE，
所以MN//平面CDE…………………………………………………………………………14分
解法二：設在翻轉過程中，點M到平面CDE的距離為
，點N到平面CDE的距離為
，則
，同理
所以
，故MN//平面CDE……………………………………………………………14分
解法三：如圖，過M作MQ//AD交ED于點Q，
過N作NP//AD交CD于點P，
連接MN和PQ…………………………………5分
設ㄓADE向上翻折的時間為t，則
，
………………7分
因
，點D是CE的中點，得
，四邊形ABCD為正方形，ㄓADE為等腰三角形. 
……………………10分
在RtㄓEMQ和RtㄓDNP中，ME=ND，∠MEQ=∠NDP=450，所以RtㄓEMQ≌RtㄓDNP，
所以MQ//NP且MQ=NP，的四邊形MNPQ為平行四邊形，所以MN//PQ，因平面CDE，
平面CDE，所以MN//平面CDE……………………………………………………14分
19題（本題滿分14分）
解：（1）由已知得
，解得：
……………………2分
所求橢圓方程為
………………………………………………4分
（2）因
，得
……………………………………7分
（3）因點
即A（3，0），設直線PQ方程為
………………8分
則由方程組
，消去y得：
設點
則
……………………10分
因
，得
，
又
，代入上式得
，故
解得：
，所求直線PQ方程為
……………………14分
20題（本題滿分14分）
解：（1）函數f(x)的定義域為
，
…………2分
①當
時，
>0，f(x)在上遞增.………………………………4分
②當
時，令
得
解得：
，因
（舍去），故在
上<0，f(x)遞減；在
上，>0，f(x)遞增.…………8分
（2）由（1）知
在
內遞減，在
內遞增.
……………………………………11分
故
，又因
故
，得
………………14分
21題（本題滿分12分）
解：（1）
解法一：由
，可得
………………………………2分
所以
是首項為0，公差為1的等差數列.
所以
即
……………………4分
解法二：因
且
得
，
，
，
…………………………………………………………
由此可猜想數列
的通項公式為：…………2分
以下用數學歸納法證明：
①當n=1時，，等式成立；
②假設當n=k時，有
成立，那么當n=k+1時，
成立
所以，對于任意
，都有
成立……………………4分
（2）解：設
……①
……②
當
時，①
②得
…………6分
這時數列的前n項和
當
時，
，這時數列的前n項和
…………………………………………8分
（3）證明：因
得
，顯然存在k=1，使得對任意，
有
成立；…………………………………………9分
①當n=1時，等號成立；
②當
時，因
所以，存在k=1，使得
成立……………12分
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