題目列表(包括答案和解析)
的通項公式；
，若
對
恒成立，求實數
的取值范圍；
為首項，公比為
的數列
，
，使得數列中每一項都是數列中不同的項，若存在，求出所有滿足條件的數列
的通項公式；若不存在，說明理由數列
的通項公式
（1）求：f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值；
（2）由上述結果推測出計算f(n)的公式，并用數學歸納法加以證明.
設數列
的通項公式為
。數列
定義如下：對于正整數m，
是使得不等式
成立的所有n中的最小值。 （1）若
，求b3； （2）若
，求數列
的前2m項和公式；（3）是否存在p和q，使得
？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由。
設數列
的通項公式為
。數列
定義如下：對于正整數m，
是使得不等式
成立的所有n中的最小值。
（1）若
，求b3；
（2）若
，求數列
的前2m項和公式；
（3）是否存在p和q，使得
？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由。
設數列
的通項公式為
。數列
定義如下：對于正整數m，
是使得不等式
成立的所有n中的最小值。 （1）若
，求b3； （2）若
，求數列
的前2m項和公式；（3）是否存在p和q，使得
？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由。
一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
A
B
C
D
C
B
D
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．
11．
12．
13．
14．
15．2
說明：第14題答案可以有多種形式，如可答
或
Z）等, 均給滿分.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16．(本小題滿分12分)
解：（1）∵
.
6分
∴
.
8分
(2) 當
時, 
取得最大值, 其值為2 . ……………………10分
此時
，即
Z
. ……………………12分
17. (本小題滿分12分)
解:(1) 由頻率分布條形圖知,抽取的學生總數為
人. ………… 3分
∵各班被抽取的學生人數成等差數列,設其公差為
,
由
=100,解得
. …………………………………… 6分
∴各班被抽取的學生人數分別是22人，24人，26人，28人. …… 8分
(2) 在抽取的學生中,任取一名學生, 則分數不小于90分的概率為0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. ………………………………12分
18．(本小題滿分14分)
解：（1）∵ 
⊥平面
，
平面，
∴
⊥.
………………………………………………2分
∵
⊥
，
，
∴
⊥平面
， ……………………………………………………4分
∵
平面，
∴
⊥. …………………………………………………………6分
（2）法1: 取線段
的中點
，
的中點
，連結
,
則
是△
中位線.
∴∥
，
， …………………………8分
∵
，
，
∴
.
∴
四邊形
是平行四邊形， …………………………10分
∴ 
.
∵ 
平面
，
平面，
∴ ∥平面. …………………………………… 13分
∴
線段的中點是符合題意要求的點． ……………………………………14分
法2: 取線段的中點，的中點，連結
,
則是△的中位線.
∴∥，
， …………………………8分
∵
平面, 
平面,
∴
平面.
∵
，，
∴
.
∴
四邊形
是平行四邊形， ……………………………………10分
∴ 
.
∵ 
平面，
平面，
∴ ∥平面
.
∵
,
∴平面
平面.……………………………………………………12分
∵
平面
,
∴∥平面.
∴
線段的中點是符合題意要求的點．……………………………… 14分
19. (本小題滿分14分)
解:(1)依題意知,
…………………………………………2分
∵
,
∴
. ………………………………………… 5分
∴所求橢圓
的方程為
. …………………………………………6分
（2）∵ 點
關于直線
的對稱點為
，
∴ 
解得：
，
.
…………………………8分
∴
.
……………………………10分
∵
點在橢圓:上,
∴
, 則
.………………………………………………12分
∴
的取值范圍為
. …………………………………………14分
20. (本小題滿分14分)
(1) 解：當
時，
.
……………………………………1分
當
時，
.
…………………………………………4分
∵
不適合上式,
∴
………………………………………………………5分
（2）證明: ∵
.
當
時，
………………………………………………6分
當時，
,
①
. �、�
①－②得:
得
， …………………………………………10分
此式當時也適合.
∴
N
.
∵
，
∴
.
…………………………………………………11分
當時，
，
∴
.
∵
，
∴
.
故
，即
. ……………………………………………13分
綜上，
．
………………………………14分
21. (本小題滿分14分)
解：（1）當
時，
，
∴
.
令=0, 得 
.
………………………………………………2分
當
時,
, 則
在
上單調遞增;
當
時,
, 則在
上單調遞減;
當
時,, 在
上單調遞增.
…………………………2分
∴ 當
時, 取得極大值為
;…………………………4分
當
時, 取得極小值為
. ………………………6分
（2） ∵ = 
，
∴△= 
= 
.
① 若a≥1，則△≤0，
∴≥0在R上恒成立，
∴ f（x）在R上單調遞增 .
∵f（0）
，
,
∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點． ……………………9分
② 若a＜1，則△＞0，
∴= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為x1，x2，（x1<x2）．
∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．
當
變化時，
的取值情況如下表：
x
x1
（x1，x2）
x2
+
0
－
0
+
f（x）
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
∵
,
∴
.
∴
.
同理
.
∴
.
令f（x1）?f（x2）＞0, 解得a＞
．
而當
時,
,
故當時, 函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點.
綜上所述，a的取值范圍是
．
……………………………………14分
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