題目列表(包括答案和解析)
已知函數
，
.
（Ⅰ）若函數
依次在
處取到極值.求
的取值范圍；
（Ⅱ）若存在實數
，使對任意的
，不等式
恒成立.求正整數
的最大值.
【解析】第一問中利用導數在在處取到極值點可知導數為零可以解得方程有三個不同的實數根來分析求解。
第二問中，利用存在實數，使對任意的，不等式
恒成立轉化為
，恒成立，分離參數法求解得到范圍。
解：（1）
①
（2）不等式 ，即
，即
.
轉化為存在實數
，使對任意的
，不等式恒成立.
即不等式
在上恒成立.
即不等式
在上恒成立.
設
，則.
設
，則
，因為，有
.
故
在區間上是減函數。又
故存在
，使得
.
當
時，有
，當
時，有
.
從而
在區間
上遞增，在區間
上遞減.
又
[來源:]
所以當
時，恒有
；當
時，恒有
；
故使命題成立的正整數m的最大值為5
如圖，
，
，…，
，…是曲線
上的點，
，
，…，
，…是
軸正半軸上的點，且
，
，…，
，…
均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（
為坐標原點）．
（1）寫出
、
和
之間的等量關系，以及、和
之間的等量關系；
（2）求證：
（
）；
（3）設
，對所有，
恒成立，求實數
的取值范圍．
【解析】第一問利用有
，
得到
第二問證明：①當
時，可求得
，命題成立；②假設當
時，命題成立，即有
則當
時，由歸納假設及
，
得
第三問
．………………………2分
因為函數
在區間
上單調遞增，所以當時，
最大為
，即
解：（1）依題意，有，，………………4分
（2）證明：①當時，可求得，命題成立；
……………2分
②假設當時，命題成立，即有，……………………1分
則當時，由歸納假設及，
得．
即
解得
（
不合題意，舍去）
即當時，命題成立． …………………………………………4分
綜上所述，對所有，． ……………………………1分
（3） 
．………………………2分
因為函數在區間上單調遞增，所以當時，最大為，即
．……………2分
由題意，有
．
所以，
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