函數f(x)=

1-x

ax

+lnx是[1，+∞）上的增函數．
（Ⅰ）求正實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數g（x）=x²+2x，在使g（x）≥M對定義域內的任意x值恒成立的所有常數M中，我們把M的最大值M=-1叫做f（x）=x²+2x的下確界，若函數f(x)=

1-x

ax

+lnx的定義域為[1，+∞），根據所給函數g（x）的下確界的定義，求出當a=1時函數f（x）的下確界．
（Ⅲ）設b＞0，a＞1，求證：ln

a+b

b

＞

1

a+b

.

設函數，
（I）求證：當且僅當a≥1時，f（x）在[0，+∞）內為單調函數；
（II）求a的取值范圍，使函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數．

函數是[1，+∞）上的增函數．
（Ⅰ）求正實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數g（x）=x²+2x，在使g（x）≥M對定義域內的任意x值恒成立的所有常數M中，我們把M的最大值M=-1叫做f（x）=x²+2x的下確界，若函數的定義域為[1，+∞），根據所給函數g（x）的下確界的定義，求出當a=1時函數f（x）的下確界．
（Ⅲ）設b＞0，a＞1，求證：

設函數f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N₊）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）設函數g(x)=2bx-

1

x2

在（0，1]上是增函數，且對于（0，1]內的任意實數x₁，x₂當k為偶數時，恒有f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數b的取值范圍；
（Ⅲ）當k是偶數時，函數h(x)=f′(x)-x+

3

x

，求證：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N₊）．