題目列表(包括答案和解析)
已知各項都不為零的數(shù)列
的前n項和為
，
，向量
，其中
N*，且
∥
．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式及；
（Ⅱ）若數(shù)列
的前n項和為
，且
（其中
是首項
，第四項為
的等比數(shù)列的公比），求證：
．
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式和前n項和公式的運用。
（1）因為
，對n=1, 
分別求解通項公式，然后合并。利用
，求解
（2）利用
裂項后求和得到結(jié)論。
解：(1) ……1分
當時，
……2分
（）……5分
……7分
……9分
證明：當
時，
當時，
數(shù)列
首項
，前
項和
滿足等式
（常數(shù)
，
……）
（1）求證：為等比數(shù)列；
（2）設數(shù)列的公比為
，作數(shù)列
使
（……），求數(shù)列的通項公式.
（3）設
，求數(shù)列
的前項和
.
【解析】第一問利用由得
兩式相減得
故
時，
從而
又
即
，而
從而
故
第二問中，
又
故為等比數(shù)列，通項公式為
第三問中，
兩邊同乘以
利用錯位相減法得到和。
（1）由得
兩式相減得
故時，
從而 ………………3分
又 即，而
從而 故
對任意
，為常數(shù)，即為等比數(shù)列………………5分
（2） ……………………7分
又故為等比數(shù)列，通項公式為………………9分
（3）
兩邊同乘以
………………11分
兩式相減得
已知數(shù)列
的前n項和
，數(shù)列
有
，
（1）求的通項；
（2）若
，求數(shù)列
的前n項和
．
【解析】第一問中，利用當n=1時，
當
時，
得到通項公式
第二問中，∵ ∴
∴數(shù)列
是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，利用錯位相減法得到。
解：（1）當n=1時，
……………………1分
當時， ……4分
又
∴
……………………5分
（2）∵ ∴
∴
……………………7分
又∵，
∴ 
∴數(shù)列 是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴
……………………9分
∴
∴
①
②
①-②得：
∴
某市投資甲、乙兩個工廠，2011年兩工廠的產(chǎn)量均為100萬噸，在今后的若干年內(nèi)，甲工廠的年產(chǎn)量每年比上一年增加10萬噸，乙工廠第
年比上一年增加
萬噸，記2011年為第一年，甲、乙兩工廠第年的年產(chǎn)量分別為
萬噸和
萬噸．
（Ⅰ）求數(shù)列
，
的通項公式；
（Ⅱ）若某工廠年產(chǎn)量超過另一工廠年產(chǎn)量的2倍，則將另一工廠兼并，問到哪一年底，其中哪一個工廠被另一個工廠兼并．
【解析】本試題主要考查數(shù)列的通項公式的運用。
第一問由題得an=10n+90，bn=100+2+22+23+…+2n-1=100+2(1-2n-1)/ 1-2 =2n+98
第二問，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查用數(shù)列解決實際問題，其步驟是建立數(shù)列模型，進行計算得出結(jié)果，再反饋到實際中去解決問題．由于比較兩個工廠的產(chǎn)量時兩個函數(shù)的形式較特殊，不易求解，故采取了列舉法，數(shù)據(jù)列舉時作表格比較簡捷．
解：（Ⅰ）由題得an=10n+90，bn=100+2+22+23+…+2n-1=100+2(1-2n-1)/ 1-2 =2n+98……6分
（Ⅱ）由于n，各年的產(chǎn)量如下表
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 100 110 120 130 140 150 160 170
bn 100 102 106 114 130 162 226 354
2015年底甲工廠將被乙工廠兼并
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