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已知點F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，過F₁且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點，若△ABF₂為正三角形，則該橢圓的離心率e是（ ）
A．
B．
C．
D．

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一、選擇題（每小題5分，共50分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

B

B

C

C

A

D

C

D

二、填空題（每小題5分，共20分）

11.     8     ；              12. AC⊥BD （ ABCD是正方形或菱形）； 

13.         ；              14.           ；

三、解答題（本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（本小題滿分12分）

解：（1）           …………………………1分

      ………………………………2分

.      ………………………………………4分

的最小正周期是.      …………………………………6分

（2）由得      …………………….8分

∵，∴　∴     …………10分

∴        ………………………………………………12分

16.（本小題滿分12分）

解：（1）當時，，對任意

      為偶函數   ……………………3分

      當時，

      取，得    

        函數既不是奇函數，也不是偶函數……6分

（2）解法一：要使函數在上為增函數等價于在上恒成立                              ……………8分

即在上恒成立，故在上恒成立

∴                   …………………………………10分

∴  的取值范圍是           ………………………………12分

解法二：設

    ………8分 

    要使函數在上為增函數，必須恒成立

    ，即恒成立   …………………………………10分

    又，  

    的取值范圍是       ………………………………12分

17.（本小題滿分14分）

證明: （1）取PC的中點G，連結FG、EG

∴FG為△CDP的中位線  ∴FGCD……1分

∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點

∴ABCD     ∴FGAE

∴四邊形AEGF是平行四邊形   ………………2分

∴AF∥EG                       ………3分

又EG平面PCE，AF平面PCE  ………4分

∴AF∥平面PCE   ………………………………………5分

     （2）∵ PA⊥底面ABCD

∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A

∴CD⊥平面ADP

又AF平面ADP         ∴CD⊥AF ……………………………… 6分

直角三角形PAD中，∠PDA=45°

∴△PAD為等腰直角三角形   ∴PA＝AD=2   …………………………  7分

∵F是PD的中點

∴AF⊥PD，又CDPD=D

∴AF⊥平面PCD                    ………………………………  8分

∵AF∥EG

∴EG⊥平面PCD                    ……………………………  9分

又EG平面PCE

平面PCE⊥平面PCD                 …………………………… 10分

（3）三棱錐C－BEP即為三棱錐P－BCE     ……………………………11分

PA是三棱錐P－BCE的高，

Rt△BCE中，BE=1，BC=2，

∴三棱錐C－BEP的體積

V_C－BEP=V_P－BCE= … 14分

18.（本小題滿分14分）

解：（1）由已知得          解得．…………………1分

    設數列的公比為，由，可得．

又，可知，即，      …………………4分

解得．

由題意得．  ．………………………………………… 6分

故數列的通項為．  … ……………………………………8分

（2）由于    由（1）得

    =  ………………………………………10分

    又

    是首項為公差為的等差數列            ……………12分

        …………………………14分

19．（本小題滿分14分）

解：（1）如圖，設為動圓圓心， ，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：             ……………………………………2分

即動點到定點與到定直線的距離相等，

由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，            

為準線， 

∴動圓圓心的軌跡方程為     ……………………………………5分

（2）由題可設直線的方程為

由得   

   △，    ………………………………………………7分

設，，則，  ………………………9分

   由，即 ，，于是，……11分

即，，

   ，解得或（舍去），  …………………13分

又，   ∴ 直線存在，其方程為       ……………14分

20.（本小題滿分14分）

解：（1）由已知，得，比較兩邊系數，

得．      ……………………4分

   （2）令，要有三個不等的實數根，則函數有

一個極大值和一個極小值，且極大值大于0，極小值小于0．  …………5分

由已知，得有兩個不等的實根，

，     得．……… 6分

又，，將代入（1）（3），有，又

．，              ………8分

則，且在處取得極大值，在處取得極小值10分      故要有三個不等的實數根，

則必須                 ……………… 12分

  解得．                            ………………… 14分