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C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系下，已知圓O：和直線，
（1）求圓O和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo).
D．選修4-5：不等式證明選講
對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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一．選擇題：DDCAB DDDAB

解析：1：∵，

∴

∴，

而i，j為互相垂直的單位向量，故可得∴。故選

2：∵ ∴0<b<a<1. 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：,又∵ ∴選(D)

3:作y=與y=的圖象,從圖中可以看出:兩曲線有3個(gè)交點(diǎn),即方程有3個(gè)實(shí)根.選(C)

4:由斜率去篩選，則可排除(C)、(D)；再用點(diǎn)（－1，3）去篩選，代入(A)成立,

 ∴應(yīng)選(A).

5：取α= ±、±,代入求出sinα、tanα 、cotα 的值，易知α=-適合題設(shè)條件，∴應(yīng)選(B).

      M - i
              2 

6：由復(fù)數(shù)模的幾何意義，畫(huà)出右圖，可知當(dāng)圓上的點(diǎn)到M的距離最大時(shí)即為|z－ｉ|最大。所以選D

7： ∵球的半徑R不小于△ABC的外接圓半徑r＝， 則S_球＝4πR²≥4πr²＝π＞5π，故選（D）.

8：當(dāng)θ0時(shí)，sin(sinθ)0，cosθ1，cos(cosθ)cos1，故排除A，B.

當(dāng)θ時(shí)，cos(sinθ)cos1，cosθ0，故排除C，因此選D.

9：由于的含義是于是若成立，則有成立；同理，若成立，則也成立，以上與指令“供選擇的答案中只有一個(gè)正確”相矛盾，故排除.再考慮，取代入得，顯然，排除.故選.

10：選項(xiàng)暗示我們，只要判斷出直線的條數(shù)就行，無(wú)須具體求出直線方程。以A（1，2）為圓心，1為半徑作圓A，以B（3，1）為圓心，2為半徑作圓B。由平面幾何知識(shí)易知，滿足題意的直線是兩圓的公切線，而兩圓的位置關(guān)系是相交，只有兩條公切線。故選B。

二．填空題：11、；12、； 13、或；14、－1；15、4，；

解析：

11：　，顯然集合M中有90個(gè)元素，其真子集的個(gè)數(shù)是，應(yīng)填.

12：容易發(fā)現(xiàn)，于是   原式＝，應(yīng)填

13：記橢圓的二焦點(diǎn)為，有

則知

    顯然當(dāng)，即點(diǎn)P位于橢圓的短軸的頂點(diǎn)處時(shí)，m取得最大值25.

    故應(yīng)填或

14.（略）

15.（略）

三．解答題：

16.解：（1）由題設(shè)，得

-----------------3分

因?yàn)?sub>與垂直   即

. 又，故，∴的值為2.   ------------------6分

（2）當(dāng)垂直時(shí)，

 ------------------8分

，則------------------10分

  ------------------12分

17.解:（I）基本事件總數(shù)為，

若使方程有實(shí)根，則，即。------------------2分

當(dāng)時(shí)，；  當(dāng)時(shí)，； ------------------3分

 當(dāng)時(shí)，；   當(dāng)時(shí)，；  ------------------4分

 當(dāng)時(shí)，；     當(dāng)時(shí)，,      ------------------5分

目標(biāo)事件個(gè)數(shù)為

 因此方程 有實(shí)根的概率為------------------6分

(II)由題意知，，則 ，，

故的分布列為

0

1

2

P

的數(shù)學(xué)期望    ------------------10分

(III)記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5”為事件M，“方程 有實(shí)根” 為事件N，則，，   .------------------12分

18.解：（Ⅰ），                            

由題意得，是的兩個(gè)根，

解得，．                      ------------------2分

再由可得．

∴．  ------------------4分

（Ⅱ），

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；------------------5分
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；------------------6分
當(dāng)時(shí)，．∴函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；------------------7分
在區(qū)間上是減函數(shù)；在區(qū)間上是增函數(shù)．
函數(shù)的極大值是，極小值是．         ------------------9分

（Ⅲ）函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個(gè)單位，向上平移4個(gè)單位得到，

所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?sub>（）．-------------10分

而，∴，即．                           

于是，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?sub>．------------------12分

令得或．

由的單調(diào)性知，，即．

綜上所述，、應(yīng)滿足的條件是：，且------------------14分

19.（Ⅰ）證明：連結(jié)交于，連結(jié).

是正方形，∴ 是的中點(diǎn). ----------1分

是的中點(diǎn)， ∴是的中位線.  ∴.  ----------2分

 又∵平面， 平面， ----------3分

∴平面.------------------4分

（II）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

由故設(shè)，則

.  ----------6分

底面，

∴是平面的法向量，．----------7分

設(shè)平面的法向量為,

,

則  即 

 ∴     令,則.  ----------9分

∴,

∴二面角的余弦值為． ------------------10分

（III）， ，

----------11分

   又且.----------12分

.  又平面    ----------13分

 ∴平面⊥平面.     ------------------14分

20.解：（Ⅰ）易知，橢圓的半焦距為：，

 又拋物線的準(zhǔn)線為：.    ----------2分

設(shè)雙曲線M的方程為，依題意有，

故，又.

∴雙曲線M的方程為. ----------4分

（Ⅱ）設(shè)直線與雙曲線M的交點(diǎn)為、兩點(diǎn)

聯(lián)立方程組 消去y得  ，-------5分

∵、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是上述方程的兩個(gè)不同實(shí)根， ∴

∴，

從而有，.   ----------7分

又，

∴.

①     若，則有 ，即 .

∴當(dāng)時(shí)，使得.    ----------10分

② 若存在實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則必有 ，

因此，當(dāng)m=0時(shí)，不存在滿足條件的k；

當(dāng)時(shí)，由 得

∵A、B中點(diǎn)在直線上，

∴，代入上式得

，又， ∴----------13分

將代入并注意到，得 .

∴當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱----------14分

21.解（I）三角形數(shù)表中前行共有個(gè)數(shù)，

 第行最后一個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)是所給奇數(shù)列中的第項(xiàng)。

  故第行最后一個(gè)數(shù)是        

  因此，使得的m是不等式的最小正整數(shù)解。----------4分

  由得

  ----------6分

于是，第45行第一個(gè)數(shù)是 

     ----------7分

（II），。 

故        ----------9分

 第n行最后一個(gè)數(shù)是，且有n個(gè)數(shù)，若將看成第n行第一個(gè)數(shù)，則第n行各數(shù)成公差為-2的等差數(shù)列，故。

  故

   ，

    兩式相減得：

        ----------13分

         ----------14分