題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分10分)從參加環保知識競賽的學生中抽出60名，將其成績(均為整數)整理后畫出的頻率分布直方圖如下，觀察圖形，回答下列問題．
(I)在79．5～89．5之間的頻率、頻數分別是多少?
(Ⅱ)估計這次環保知識競賽的及格率(60分及以上為及格)．
(本小題滿分10分)選修4-4坐標系與參數方程
在平面直角坐標系中，取原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C1的極坐標方程為
，直線C2的參數方程為：
(t為參數）
(I )求曲線C1的直角坐標方程，曲線C2的普通方程.
(II)先將曲線C1上所有的點向左平移1個單位長度，再把圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的
倍得到曲線C3
P為曲線C3上一動點，求點P到直線C2距離的最小值，并求出相應的P點的坐標.
（本小題滿分10分）已知直線l的方程為3x+4y－12="0," 求直線m的方程, 使得：
(1)m與l平行, 且過點(－1,3) ;
(2) m與l垂直, 且m與兩軸圍成的三角形面積為4.
(本小題滿分10分)選修4—4;坐標系與參數方程．
已知直線
為參數), 曲線
（
為參數）.
（Ⅰ）設
與
相交于
兩點,求
；
（Ⅱ）若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的
倍,縱坐標壓縮為原來的
倍,得到曲線
,設點
是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最小值.
本小題滿分10分）
已知直線l經過點P（
，1），傾斜角
，在極坐標系下，圓C的極坐標方程為
。
（1）寫出直線l的參數方程，并把圓C的方程化為直角坐標方程；
（2）設l與圓C相交于A，B兩點，求點P到A，B兩點的距離之積。
第Ⅰ卷
一、填空題:
1. {1,2,3}; 2.充分非必要;3.
; 4.
; 5. 8; 6. (歷史) 5049; (物理) 
; 7. 1; 8.
9.
;10.
; 11.
; 12.
;13.
;14. 4.
二、解答題：
15. 解：（1）因為
,所以
…………（3分）
得
（用輔助角得到
同樣給分） ………（5分）
又
,所以
=
……………………………………（7分）
（2）因為
………………………（9分）
=
…………………………………………（11分）
所以當=
時, 
的最大值為5＋4=9 …………………（13分）
故
的最大值為3 ………………………………………（14分）
16. (選歷史方向) 解: （1）表格為:
高 個
非高個
合 計
大 腳
5
2
7
非大腳
1
13
合 計
6
14
…… （3分）
（說明:黑框內的三個數據每個1分,黑框外合計數據有錯誤的暫不扣分）
（2）提出假設H0: 人的腳的大小與身高之間沒有關系. …………………………… （4分）
根據上述列聯表可以求得
.…………………… （7分）
當H0成立時,
的概率約為0.005,而這里8.802>7.879,
所以我們有99.5%的把握認為: 人的腳的大小與身高之間有關系. ……………… （8分）
（3）
①抽到12號的概率為
………………………………… （11分）
②抽到“無效序號（超過20號）”的概率為
…………………… （14分）
(選物理方向) 解：（Ⅰ）在給定的直角坐標系下，設最高點為A，入水點為B，
拋物線的解析式為
． …………………………… 2′
由題意，知O（0，0），B（2，－10），且頂點A的縱坐標為
．…………… 4′
或
……………………………
8′
∵拋物線對稱軸在y軸右側，∴
,又∵拋物線開口向下，∴a＜0,
從而b＞0,故有
……………………………9′
∴拋物線的解析式為
. ……………………………10′
（Ⅱ）當運動員在空中距池邊的水平距離為
米時，
即
時，
， ……………………………12′
∴此時運動員距水面的高為10－
＝
＜5，因此，此次跳水會失誤.………………14′
17. （1）證明：由直四棱柱,得
,
所以
是平行四邊形,所以
…………………（3分）
而
,
,所以
面
………（4分）
（2）證明：因為
, 所以
……（6分）
又因為
,且
，所以
………
……（8分）
而
，所以
…………………………（9分）
（3）當點
為棱
的中點時,平面
平面
…………………（10分）
取DC的中點N,
,連結
交
于
,連結
.
因為N是DC中點,BD=BC,所以
；又因為DC是面ABCD與面
的交線,而面ABCD⊥面,
所以
……………（12分）
又可證得,是的中點,所以BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四邊形,所以BN∥OM,所以OM平面
,
因為OM?面DMC1,所以平面平面………………………（14分）
18. 解：（1）因為
,所以c=1……………………（2分）
則b=1,即橢圓
的標準方程為
…………………………（4分）
（2）因為
（1,1）,所以
,所以
,所以直線OQ的方程為y=－2x（6分）
又橢圓的左準線方程為x=－2,所以點Q（－2,4） …………………………（7分）
所以
,又
,所以
,即
,
故直線
與圓相切……………………………………………………（9分）
（3）當點在圓上運動時,直線與圓保持相切 ………（10分）
證明:設
（
）,則
,所以
,
,
所以直線OQ的方程為
……………（12分）
所以點Q（－2,
） ………………
（13分）
所以
,
又
,所以,即,故直線始終與圓相切……（15分）
19.⑴解：函數的定義域為
，
（
）…… （2分）
若
，則
，
有單調遞增區間． ……………… （3分）
若
，令
，得
，
當
時，
，
當
時，． ……………… （5分）
有單調遞減區間
，單調遞增區間
． ……………… （6分）
⑵解:(i)若，在
上單調遞增，所以
． ……… （7分）
若
，在上單調遞減，在
上單調遞增，
所以
． ………………
（9分）
若
，在上單調遞減，所以
．………… （10分）
綜上所述，
……………… （12分）
（ii）令
．若，無解． ………………
（13分）
若，解得
． ……………… （14分）
若，解得
． ………………
（15分）
故
的取值范圍為
． ……………… （16分）
20. (1)數表中第
行的數依次所組成數列的通項為
，則由題意可得
… （2分）
(其中
為第
行數所組成的數列的公差)
(4分)
(2)
第一行的數依次成等差數列，由(1)知，第2行的數也依次成等差數列，依次類推，可知數表中任一行的數(不少于3個)都依次成等差數列. ……………… （5分）
設第行的數公差為
,則
，則
…………… （6分）
所以
(10 分)
(3)由
，可得
所以
=
……………… （11分）
令
,則
,所以 
………… （13分）
要使得
，即
，只要
=
，
，
，所以只要
,
即只要
,所以可以令
則當
時，都有.
所以適合題設的一個函數為
(16分)
第Ⅱ卷（附加題 共40分）
1. （1）設動點P的坐標為
,M的坐標為
,
則
即為所求的軌跡方程. …………（6分）
（2）由（1）知P的軌跡是以（
）為圓心，半徑為
的圓，易得RP的最小值為1
.……（10分）
2. 
，|x－a|＜l，
，
…………………………………………………5分
=
………………………10分
3. 證明：以
為坐標原點
長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為
．
（1）解：因
所以，
與
所成的角余弦值為
…………………………………5分
（2）解：在
上取一點
，則存在
使
要使
為
所求二面角
的平面角．
…………………………………10分
另解：可以計算兩個平面的法向量分別為：平面ＡＭＣ的法向量
，平面ＢＭＣ的法向量為
，
=
， 所求二面角的余弦值為－．
4. （1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得到的函數是奇函數”，由題意知
………………………………4分
（2）ξ可取1，2，3，4．
，
；………………8分
故ξ的分布列為
ξ
1
2
3
4
P
答：ξ的數學期望為
………………………………10分
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