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求函數的導數
(1)y=(x²－2x+3)e^2x;
(2)y=.

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難點磁場

解：由l過原點，知k=(x₀≠0),點(x₀,y₀)在曲線C上，y₀=x₀³－3x₀²+2x₀,

∴=x₀²－3x₀+2

y′=3x²－6x+2,k=3x₀²－6x₀+2

又k=,∴3x₀²－6x₀+2=x₀²－3x₀+2

2x₀²－3x₀=0,∴x₀=0或x₀=

由x≠0,知x₀=

∴y₀=()³－3()²+2?=－

∴k==－

∴l方程y=－x 切點(，－)

殲滅難點訓練

一、1.解析：y′=e^sinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e⁰(1－0)=1

答案：B

2.解析：設切點為(x₀,y₀),則切線的斜率為k=,另一方面，y′=()′=,故

y′(x₀)=k,即或x₀²+18x₀+45=0得x₀⁽¹⁾=－3,y₀⁽²⁾=－15,對應有y₀⁽¹⁾=3,y₀⁽²⁾=,因此得兩個切點A(－3，3)或B(－15,),從而得y′(A)= =－1及y′(B)=  ,由于切線過原點，故得切線：l_A:y=－x或l_B:y=－.

答案：A

二、3.解析：根據導數的定義：f′(x₀)=(這時)

答案：－1

4.解析：設g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),則f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0?g′(0)=g(0)=1?2?…n=n！

答案：n!

三、5.解：設l與C₁相切于點P(x₁,x₁²),與C₂相切于Q(x₂,－(x₂－2)²)

對于C₁：y′=2x,則與C₁相切于點P的切線方程為

y－x₁²=2x₁(x－x₁),即y=2x₁x－x₁²                                                                                                                                              ①

對于C₂：y′=－2(x－2),與C₂相切于點Q的切線方程為y+(x₂－2)²=－2(x₂－2)(x－x₂),即y=－2(x₂－2)x+x₂²－4                                                                                             ②

∵兩切線重合，∴2x₁=－2(x₂－2)且－x₁²=x₂²－4,解得x₁=0,x₂=2或x₁=2,x₂=0

∴直線l方程為y=0或y=4x－4

6.解：(1)注意到y＞0,兩端取對數，得

lny=ln(x²－2x+3)+lne^2x=ln(x²－2x+3)+2x

 (2)兩端取對數，得

ln|y|=(ln|x|－ln|1－x|),

兩邊解x求導，得

7.解：設經時間t秒梯子上端下滑s米,則s=5－,當下端移開1.4 m時，t₀=,又s′=－ (25－9t²)?(－9?2t)=9t,所以s′(t₀)=9×=0.875(m/s)

8.解：(1)當x=1時，S_n=1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1),當x≠1時，1+2x+3x²+…+nx^n-1?=,兩邊同乘以x,得

x+2x²+3x²+…+nxⁿ=兩邊對x求導，得

S_n=1²+2²x²+3²x²+…+n²x^n-1?

=