設(shè)點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的個(gè)不同的點(diǎn)（）.

（1） 當(dāng)時(shí)，試寫出拋物線上的三個(gè)定點(diǎn)、、的坐標(biāo)，從而使得

；

（2）當(dāng)時(shí)，若，

求證：；

（3） 當(dāng)時(shí)，某同學(xué)對(duì)（2）的逆命題，即：

“若，則.”

開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請(qǐng)你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開展研究：

① 試構(gòu)造一個(gè)說明該逆命題確實(shí)是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；

② 對(duì)任意給定的大于3的正整數(shù)，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真，請(qǐng)寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.

【評(píng)分說明】本小題若填空不止一個(gè)研究方向，則以實(shí)得分最高的一個(gè)研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)為，

設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；

解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image010.png">，所以，

故可取滿足條件.

（2）設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image017.png">

；

所以.

（3） ①取時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)為，

設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；，

則，

.

故，，，是一個(gè)當(dāng)時(shí)，該逆命題的一個(gè)反例.(反例不唯一)

② 設(shè)，分別過作

拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，

由及拋物線的定義得

，即.

因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無關(guān)，所以只要將這點(diǎn)都取在軸的上方，則它們的縱坐標(biāo)都大于零，則

，

而，所以.

（說明：本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個(gè)不同的點(diǎn)，均為反例.）

③ 補(bǔ)充條件1：“點(diǎn)的縱坐標(biāo)（）滿足 ”，即：

“當(dāng)時(shí)，若，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)（）滿足，則”.此命題為真.事實(shí)上，設(shè)，

分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由，

及拋物線的定義得，即，則

，

又由，所以，故命題為真.

補(bǔ)充條件2：“點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱”，即：

“當(dāng)時(shí)，若，且點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，則”.此命題為真.（證略）

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為p，公差為d（d＞0）．對(duì)于不同的自然數(shù)n，直線x=a_n與x軸和指數(shù)函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)A_n與B_n（如圖所示），記B_n的坐標(biāo)為（a_n，b_n），直角梯形A₁A₂B₂B₁、A₂A₃B₃B₂的面積分別為s₁和s₂，一般地記直角梯形A_nA_n+1B_n+1B_n的面積為s_n．
（1）求證數(shù)列{s_n}是公比絕對(duì)值小于1的等比數(shù)列；
（2）設(shè){a_n}的公差d=1，是否存在這樣的正整數(shù)n，構(gòu)成以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長的三角形？并請(qǐng)說明理由；
（3）（理）設(shè){a_n}的公差d（d＞0）為已知常數(shù)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)p使得（1）中無窮等比數(shù)列{s_n}各項(xiàng)的和S＞2010？并請(qǐng)說明理由．
（4）（文）設(shè){a_n}的公差d=1，是否存在這樣的實(shí)數(shù)p使得（1）中無窮等比數(shù)列{s_n}各項(xiàng)的和S＞2010？如果存在，給出一個(gè)符合條件的p值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．