題目列表(包括答案和解析)
一自來水廠用蓄水池通過管道向所管轄區域供水．某日凌晨，已知蓄水池有水9千噸，水廠計劃在當日每小時向蓄水池注入水2千噸，且每
小時通過管道向所管轄區域供水
千噸．
（1）多少小時后，蓄水池存水量最少？
（2）當蓄水池存水量少于3千噸時，供水就會出現緊張現象，那么當日出現這種情況的時間有多長？
【解析】第一問中（1）設小時后，蓄水池有水
千噸．依題意，
當
，即
（小時）時，蓄水池的水量最少，只有1千噸
第二問依題意，
解得：
解：（1）設小時后，蓄水池有水千噸．………………………………………1分
依題意，…………………………………………4分
當，即（小時）時，蓄水池的水量最少，只有1千噸． ………2分
（2）依題意， ………………………………………………3分
解得：． …………………………………………………………………3分
所以，當天有8小時會出現供水緊張的情況
如圖，
，
，…，
，…是曲線
上的點，
，
，…，
，…是
軸正半軸上的點，且
，
，…，
，…
均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（
為坐標原點）．
（1）寫出
、
和
之間的等量關系，以及、和
之間的等量關系；
（2）求證：
（
）；
（3）設
，對所有，
恒成立，求實數
的取值范圍．
【解析】第一問利用有
，
得到
第二問證明：①當
時，可求得
，命題成立；②假設當
時，命題成立，即有
則當
時，由歸納假設及
，
得
第三問
．………………………2分
因為函數
在區間
上單調遞增，所以當時，
最大為
，即
解：（1）依題意，有，，………………4分
（2）證明：①當時，可求得，命題成立；
……………2分
②假設當時，命題成立，即有，……………………1分
則當時，由歸納假設及，
得．
即
解得
（
不合題意，舍去）
即當時，命題成立． …………………………………………4分
綜上所述，對所有，． ……………………………1分
（3） 
．………………………2分
因為函數在區間上單調遞增，所以當時，最大為，即
．……………2分
由題意，有
．
所以，
如圖，已知點
和單位圓上半部分上的動點B．
（1）若
，求向量
；
（2）求
的最大值．
【解析】對于這樣的向量的坐標和模最值的求解，利用建立直角坐標系的方法可知。
第一問中，依題意，
，
，
因為，所以
，即
，
解得
，所以
第二問中，
結合三角函數的性質得到最值。
（1）依題意，，（不含1個或2個端點也對）
， （寫出1個即可）
因為，所以，即，
解得，所以.-
（2）
，
當
時，取得最大值，
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