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（滿分12分）設底面邊長為的正四棱柱中，與平面 所成角為；點是棱上一點．

（1）求證：正四棱柱是正方體；
（2）若點在棱上滑動，求點到平面距離的最大值；
（3）在（2）的條件下，求二面角的大小．

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如圖所示，PA⊥平面ABC，點C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA=，PA=AB=2，點E為線段PB的中點，點M在弧AB上，且OM∥AC．
（Ⅰ）求證：平面MOE∥平面PAC；
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面PCB；
（Ⅲ）設二面角M-BP-C的大小為θ，求cosθ的值．

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一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

（1）A       （2）B        （3）B      （4）A    （5）D       （6）D 

（7）C       （8）C        （9）A     （10）C    （11）A      （12）B

二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

（13）        （14）2          （15）       （16）44

三．解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

（17）（本小題滿分10分）

（Ⅰ）解法一：由正弦定理得.

故      ，

_{又      ，}

_{故      ，}

_{即      ，}

_{故      .}

_{因為    ，}

_{故      ，}

      又      為三角形的內角，

所以    .                    ………………………5分

解法二：由余弦定理得  .

      將上式代入    整理得．

      故      ，  

又      為三角形內角，

所以    ．                    ………………………5分

（Ⅱ）解：因為．

故      ，

由已知  得

又因為  .

得      ，

所以    ，

解得    .    ………………………………………………10分

（18）（本小題滿分12分）

（Ⅰ）證明：

             ∵面，面，

             ∴．

             又∵底面是正方形，

       ∴．

             又∵，

       ∴面，

       又∵面，

       ∴平面平面．    ………………………………………6分

（Ⅱ）解法一：如圖建立空間直角坐標系．

設，則，在中，.

∴、、、、、．

∵為的中點，，

∴．

        設是平面的一個法向量．

則由 可求得.

由（Ⅰ）知是平面的一個法向量，

且，

∴，即.

∴二面角的大小為． ………………………………………12分

  解法二：

         設，則，

在中，.

設，連接，過作于，

連結，由（Ⅰ）知面.

∴在面上的射影為，

∴．

故為二面角的平面角.

在中，，，．

∴，

∴.

∴.

即二面角的大小為． …………………………………12分

（19）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）設取到的4個球全是白球的概率，

則．          …………………………………6分

（Ⅱ）設取到的4個球中紅球個數不少于白球個數的概率，

則． ………………12分

（20）（本小題滿分12分）

解：（I）設等比數列的首項為，公比為，

依題意，有，

代入， 得．

∴．               …………………………………2分

∴解之得或  …………………6分

∴或．              …………………………………8分

（II）又單調遞減，∴．   …………………………………9分

則． …………………………………10分

∴，即，，

．

故使成立的正整數n的最小值為8．………………………12分

（21）（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：設雙曲線方程為，，

由，及勾股定理得，

由雙曲線定義得 ．

則．               ………………………………………5分

（Ⅱ），，雙曲線的兩漸近線方程為．

由題意，設的方程為，與軸的交點為．

若與交于點，與交于點，

由得；由得，

，

，

則，

故雙曲線方程為．         ………………………………12分

（22）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ），

．

又因為函數在上為增函數，

  在上恒成立，等價于

  在上恒成立.

又，

故當且僅當時取等號，而，

  的最小值為．         ………………………………………6分

（Ⅱ）由已知得：函數為奇函數，

  ， ，  ………………………………7分

.

切點為，其中，

則切線的方程為：   ……………………8分

由，

得.

又，

，

，

，

或，由題意知，

從而.

，

，

.                    ………………………………………12分

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