題目列表(包括答案和解析)
C．選修4-4：坐標系與參數方程
在極坐標系下，已知圓O：
和直線
，
（1）求圓O和直線
的直角坐標方程；（2）當
時，求直線與圓O公共點的一個極坐標.
D．選修4-5：不等式證明選講
對于任意實數
和
，不等式
恒成立，試求實數
的取值范圍．
和直線
，
的直角坐標方程；（2）當
時，求直線與圓O公共點的一個極坐標.
和
，不等式
恒成立，試求實數
的取值范圍．C
[解析] 由基本不等式，得ab≤
＝
＝
－ab，所以ab≤
，故B錯；
＋
＝
＝
≥4，故A錯；由基本不等式得
≤
＝
，即
＋
≤
，故C正確；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D錯．故選C.
( )
A．4 B．3 C．-3 D．
一、DDBCD CABCA
二、11．1；
12．
； 13．
14．
； 15．
；
16．
三．解答題（本大題共6小題，共76分）
17．解：（1）法一：由題可得
；
法二：由題
，
故
，從而
；
法三：由題
，解得
，
故，從而。
（2）
，令
，
則
，
在
單調遞減，
故
，
從而
的值域為
。
18．解：（1）
的可能取值為0,1,2,3,4，
，
，
，
，
。
因此隨機變量的分布列為下表所示；
0
1
2
3
4
（2）由⑴得：
，
19．法一：（1）連接
，設
，則
。
因為
，所以
，故
，從而
，
故
。
又因為
，
所以
，當且僅當
取等號。
此時
為
邊的中點，
為
邊的中點。
故當為邊的中點時，
的長度最小，其值為
（2）連接
，因為此時
分別為
的中點，
故
，所以
均為直角三角形，
從而
，所以
即為直線
與平面
所成的角。
因為
，所以
即為所求；
（3）因，又
，所以
。
又
，故三棱錐
的表面積為
。
因為三棱錐的體積
，
所以
。
法二：（1）因
，故
。
設
，則
。
所以
，
當且僅當
取等號。此時為邊的中點。
故當為的中點時，的長度最小，其值為；
（2）因，又，所以。
記點到平面的距離為
，
因，故
，解得
。
因
，故
；
（3）同“法一”。
法三：（1）如圖，以
為原點建立空間直角坐標系，設，則
，
所以，當且僅當取等號。
此時為邊的中點，為邊的中點。
故當為邊的中點時，的長度最小，其值為；
（2）設
為面的法向量，因
，
故
。取
，得
。
又因
，故
。
因此
，從而
，
所以；
（3）由題意可設
為三棱錐的內切球球心，
則
，可得
。
與（2）同法可得平面
的一個法向量
，
又
，故
，
解得
。顯然
，故
。
20．解：（1）當
時，
。令
得
，
故當
時
，單調遞增；
當
時
，單調遞減。
所以函數的單調遞增區間為
，
單調遞減區間為
；
（2）法一：因
，故
。
令
，
要使
對滿足
的一切
成立，則
，
解得
；
法二：，故。
由
可解得
。
因為
在
單調遞減，因此
在單調遞增，故
。設
，
則
，因為
，
所以
，從而
在單調遞減，
故
。因此
，即。
（3）因為
，所以
即
對一切
恒成立。
，令
，
則
。因為，所以
，
故
在
單調遞增，有
。
因此
，從而
。
所以
。
21．解：（1）設
，則由題
，
由
得
，故
。
又根據
可得
，
即
，代入可得
，
解得
（舍負）。故的方程為
；
（2）法一：設
，代入得
，
故
，
從而
因此
。
法二：顯然點是拋物線的焦點，點
是其準線
上一點。
設為的中點，過
分別作的垂線，垂足分別為
，
則
。
因此以為直徑的圓與準線相切（于點
）。
若與重合，則
。否則點在
外，因此
。
綜上知。
22．證明：（1）因
，故
。
顯然
，因此數列
是以
為首項，以2為公比的等比數列；
（2）由⑴知
，解得
；
（3）因為
所以
。
又
（當且僅當
時取等號），
故
。
綜上可得
。（亦可用數學歸納法）
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