題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分）已知函數
．
（I）當
時，如果關于
的方程：
有且只有一個解，求實數
的取值范圍；
（II）當
時，試比較
與1的大小；
（Ⅲ）求證：
．
（本小題滿分12分）已知函數
,數列
滿足
．(Ⅰ)求證：數列
是等差數列；(Ⅱ)記
,試比較
與1的大小.
（本題滿分12分）已知函數
,數列
滿足
．
(Ⅰ)求證：數列
是等差數列；(Ⅱ)記
,試比較
與1的大小.
從曲線
上一點
引曲線C的第一條切線
，交
軸于點
，過點
引曲線C的第二條切線
，交軸于點
，…如此反復作下去，由切線
得到點列
，
，的橫坐標組成數列
，
（1）若
，求數列的通項公式；
（2）若對于任意的正整數
都有
恒成立，且
，求
的最大值；
（3）在（1）的條件下，記
，數列
的前項和為
，試比較與1的大小。
（本小題滿分14分）
已知函數
．
（Ⅰ）當
時，如果函數
僅有一個零點，求實數
的取值范圍；
（Ⅱ）當
時，試比較
與1的大小；
（Ⅲ）求證：
．
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C
7．A 8．D 9．B 10．B 11．C 12．A
二、填空題：本大題共6小題，共74分
13．5
14．3
15．
16．32
三、解答題：本大題共6小題，共74分
17．解：（I）由三角函數的定義可知
（II）又
為正三角形，
18．解：（I）
第三批旅游人數為
現用分層抽樣的方法在所有游客中抽取50名游客，應在第三批參加旅游的游客中抽取的人數為
（人）
（II）設“第三批參加旅游的游客中到北京游的人數比到香港游的人數多”為事件A，第三批參加旅游的游客中到北京游的人數、到香港游的人數記為
由（I）知
，且
則基本事件空間包含的基本事件有
（136，144）（137，143）（138，142）（139，141）（140，140）（141，139）（142，138）
（143，137）（144，136）（145，135）（146，134）（147，133） 共12個。
事件A包含的基本事件有
（141，139）（142，138）（143，137）（144，136）（145，135）（146，134）（147，133）共7個
答：第三批參加旅游的游客中到北京游的人數比到香港游的人數多的概率為
19．解：（I）取
的中點
，連結
在
中，
為
的中點
四邊形
為平行四邊形
（II）
側面
底面
，
平面
,
又
是正三角形，
為的中點，
（III）取
的中點
，連結
,
是邊長為2的正三角形，
又側面
底面
20．解（I）由已知得，
數列
是首項
，公差
的等差數列
（II）由（I）知
21．解:(I)由題意知，
由橢圓定義知，動點
滿足的曲線
方程是:
（II）由方程組
的面積
不存在直線
滿足題意
22．解法一：
（I）由已知
（II）
由此得
時，
單調遞減；
時，單調遞增
當
，即
時，
當
，即
時，
（III）
在
在是減函數，
在
上恒成立
即
在上恒成立
在上恒成立
又
當且僅當
時等號成立。
解法二；（I）,(II)同解法一
（III）
在是減函數，
在上恒成立
即在上恒成立
不妨設
由于
無解。
綜上所述，得出
，即
的取值范圍是
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